Cумма размерностей подпространств. Есть ошибка?

[StepV]

В "линейной алгебре" застрял на теореме о сумме размерностей произвольных пространств. Посмотрел в трех учебниках:
Ильин, Позняк "Линейная алгебра" 2005 г, Теорема 2.9 стр 57
Канатников, Крищенко "Линейная алгебра", Теорема 2.5 стр 67
Мальцев "Основы линейной алгебры", теорема на стр 101.
Всюду однотипные доказательства и я никак не могу с ними согласиться. Мне кажется, что они неправильны. Попытался сформулировать свою точку зрения. Может кто-то сможет сказать, в чем у меня ошибка.

Теорема 2.9 (по Ильин, Позняк) о сумме размерностей произвольных подпространств.
$\textbf{Первая часть теоремы. Здесь все понятно.}$
Имеются два подпространства $ L_1$ и $ L_2$, пересечение этих подпространств обозначим $L_0=L_1 \cap L_2$.
Чтобы построить базис подпространства $\hat{L}=L_1 \cup L_2$, строим последовательно базисы подпространств:
для $L_0$: $e_1,e_2,\ldots ,e_k$;
для $L_1$: $e_1,e_2,\ldots ,e_k,g_1,g_2,\ldots,g_l$;
для $L_2$: $e_1,e_2,\ldots ,e_k,f_1,f_2,\ldots,f_m$;

Чтобы доказать, что базисом для подпространства $\hat{L}$ является набор векторов:
$g_1,g_2,\ldots,g_l,e_1,e_2,\ldots ,e_k,f_1,f_2,\ldots,f_m$
- надо доказать, что эти вектора линейно независимы. Для этого рассматривается линейная комбинация этих векторов, равная нулю:
$ \alpha_1 g_1+\alpha_2 g_2+\ldots +\alpha_l g_l+\beta_1 e_1 +\beta_2 e_2 +\ldots +\beta_k e_k +$
$ + \gamma_1 f_1 +\gamma_2 f_2 + \ldots +\gamma_m f_m = 0 $ (f.1)
$\textbf{Вторая часть теоремы. С комментариями непонятых моментов.}$
Для сокращения дальнейших выкладок введем обозначения для векторов подпространства. Будем писать вектор выделенным шрифтом, а в скобках указывать подпространство, к которому он принадлежит, например: $\textbf{h}_1(\hat{L})$.
Сокращенно формулу (f.1) можно записать так:
$\textbf{h}(\hat{L}) = 0$
Далее в доказательстве говорится, что этот вектор разбивается на два, это понятно, т.к. $\hat{L}=L_1 \cup L_2$:
$\textbf{h}(\hat{L}) = \textbf{g}(L_1) + \textbf{f}(L_2) = 0 $
отсюда
$\textbf{g}(L_1) = -\textbf{f}(L_2)$

Чтобы сумма двух векторов равнялась нулю, для слагаемых надо проверить два результата:
вариант1: $g(L_1)=0$ и $f(L_2)=0$, т.е коэффициенты при всех векторах должны быть равны нулю;
вариант2: $g(L_1) \neq 0$ и $f(L_2) \neq 0$ , т.е. понять, каким образом вектора могут оказаться равными.

Доказательство теоремы сводится к получению варианта 1, но уже здесь в доказательстве произведена подмена. Если вектор принадлежит подпространству $L_2$, то для данного случая он должен выглядеть следующим образом:

$$ \textbf{f}(L_2) = 0 \cdot e_1 +0 \cdot e_2 +\ldots + 0 \cdot e_k + \gamma_1 f_1 +\gamma_2 f_2 + \ldots +\gamma_m f_m \eqno(f.2) $$

т.е. разбиение линейной комбинации (f.1) произведено так, что у $\textbf{f}(L_2)$ коэффициенты при $e_i$ равны нулю.

В доказательстве теоремы берется вектор

$$ \textbf{f}(L_2 \setminus L_0) = \gamma_1 f_1 +\gamma_2 f_2 + \ldots +\gamma_m f_m \eqno(f.3)$$

этот вектор находится в подпространстве $L_2 \setminus L_0$, и он не может быть разложен на компоненты в подпространстве $L_0$, как это сделано дальше в доказательстве теоремы.
Затем делается вывод, что коэффициенты разложения вектора $ \textbf{f}(L_2 \setminus L_0)$ по $e_i \in L_0$ равны нулю. Подпространства не совпадают и разложение невозможно. Если, как и утверждается в теореме, это вектор, принадлежащий $L_2$, то его разложение дано в (f.2), т.е. вектор разложен по полному базису пространства $L_2$ и другое разложение будет не верным. Поэтому разложение вектора $ \textbf{f}(L_2 \setminus L_0)$ по базису подпространства $L_0$ и вывод о равенстве коэффициентов $\gamma_i$ нулю выглядят, как ошибка.

Можно разбить вектор $\textbf{h}$ по другому:
$ \textbf{g}(L_1) = (\beta_1 - \zeta_1) e_1 +(\beta_2 - \zeta_2) e_2 +\ldots + (\beta_k - \zeta_k) e_k + \alpha_1 g_1 +\alpha_2 g_2 + \ldots +\alpha_l g_l $
$ \textbf{f}(L_2) = \zeta_1 e_1 +\zeta_2 e_2 +\ldots + \zeta_k e_k + \gamma_1 f_1 +\gamma_2 f_2 + \ldots + \gamma_m f_m $
тогда коэффициенты при $e_i$ точно не должны быть равны нулю.

Вариант2 в теореме не рассматривается. В этом варианте вектор $\textbf{h}(\hat{L})$ надо разбивать на сумму двух векторов из подпространства $\hat{L}$ и доказывать их равенство.

[Xaositect]

Во-первых, везде не объединение, а сумма. А $L_2 \setminus L_0$ - это вообще не подпространство.

Во-вторых, если вектор лежит в подпространстве, то он также лежит и в объемлющем пространстве и может быть разложен по его базису.
В частности, если $f = \gamma_1 f_1 + \dots + \gamma_m f_m$ и значит, $f$ принадлежит пространству $\mathrm{span}(f_1, \dots, f_m) \subset L_2$, которое Вы неправильно обозначаете $L_2 \setminus L_0$, то из этого следует, что он также принадлежит $L_2$ и может быть разложен по базису $e_1, \dots, e_k, f_1, \dots, f_m$. И из того, что $f = \gamma_1 f_1 + \dots + \gamma_m f_m$ следует, что разложение это будет выглядеть именно как $f = 0 \cdot e_1 + \dots 0 \cdot e_k + \gamma_1 f_1 + \dots \gamma_m f_m$.

Вектор - он сам по себе, факт, что он лежит в каком-то подпространстве - он сам по себе. Любой вектор в более чем двухмерном пространстве лежит в бесконечном множестве подпространств и может в каждом из них быть разложен по бесконечному количеству базисов.

[mihaild]

Вы кажется сами себя запутали. Непонятно, что за зверь $L_2 \setminus L_0$ - если брать разность как множеств, то это вообще не подпространство (т.к. не содержит нуля). И уж тем более непонятно, что такое $\textbf f (L_2 \setminus L_0)$.

StepV в сообщении #1465193 писал(а):

этот вектор находится в подпространстве $L_2 \setminus L_0$

Этот вектор находится в подпространстве $L_2$ (потому что выражен через его базис), и одновременно он находится в подпространстве $L_1$ (потому что равен $-\mathbf g$, а $\mathbf g \in L_1$), так что он находится и в $L_2 \cap L_1 = L_0$.

[StepV]

Xaositect в сообщении #1465197 писал(а):

из этого следует, что он также принадлежит $L_2$ и может быть разложен по базису $e_1, \dots, e_k, f_1, \dots, f_m$. И из того, что $f = \gamma_1 f_1 + \dots + \gamma_m f_m$ следует, что разложение это будет выглядеть именно как $f = 0 \cdot e_1 + \dots 0 \cdot e_k + \gamma_1 f_1 + \dots \gamma_m f_m$.

Именно с этого момента и возникает непонятка. Вектор $\textbf f$ именно так раскладывается в $L_2$, и мы это делаем ничего вообще не доказывая, так сказать, по правилам линейной алгебры. Но в теореме в учебнике далее начинают пытаться доказать, что из факта равенства нулю коэффициентов при $e_i$ следует, что и коэффициенты $\gamma_i=0$. Для этого этот вектор опять разлагают, но уже по одному базису векторов $e_i$ подпространства $L_0$. Зачем еще раз доказывать, что коэффициента при $e_i$ равны нулю, если мы и так выбрали именно такой вектор.

[Xaositect]

А это уже следует из того, что сказал mihaild: $g \in L_1$ и $f = -g$, значит, $f$ тоже лежит в $L_1$.
Раз он лежит в $L_1$ и в $L_2$, то он лежит в их пересечении $L_0$ и может быть разложен по базису $e_1, \dots, e_k$: $f = \zeta_1 e_1 + \dots + \zeta_k e_k$.
Но $L_0$ - подпространство $L_2$ и $f = \zeta_1 e_1 + \dots + \zeta_k e_k + 0 \cdot f_1 + \dots + 0 \cdot f_m$ - разложение $f$ по базису $e_1, \dots, e_k, f_1, \dots, f_m$.

Мы получили два разложения одного и того же вектора в одном и том же базисе:
$f = \zeta_1 e_1 + \dots + \zeta_k e_k + 0 \cdot f_1 + \dots + 0 \cdot f_m$
$f = 0 \cdot e_1 + \dots + 0 \cdot e_k + \gamma_1 f_1 + \dots + \gamma_m f_m$
Но разложение по базису однозначно, значит, все $\zeta$ и $\gamma$ должны быть нулями, и $f = 0$.

[StepV]

mihaild в сообщении #1465198 писал(а):

Этот вектор находится в подпространстве $L_2$ (потому что выражен через его базис), и одновременно он находится в подпространстве $L_1$ (потому что равен $-\mathbf g$, а $\mathbf g \in L_1$), так что он находится и в $L_2 \cap L_1 = L_0$.

Простой пример. Вектор $\texttbf a$ находится в плоскости xOy перпендикулярно оси х. Пересечение плоскости xOz с плоскостью xOy - это ось x. Вектор $\texttbf a$ ни при каких условиях не может принадлежать оси х, а тем более быть разложен по базису этой оси. А в теореме это сделали.

[Xaositect]

В том то и дело, что нулевой вектор одновременно ортогонален оси $Ox$ и лежит на ней.

[mihaild]

StepV в сообщении #1465282 писал(а):

Вектор $\texttbf a$ ни при каких условиях не может принадлежать оси х

Почему? Есть какая-то теорема о том, что вектор, перпендикулярный подпространству, не лежит в этом подпространстве?

[StepV]

Xaositect в сообщении #1465284 писал(а):

В том то и дело, что нулевой вектор одновременно ортогонален оси $Ox$ и лежит на ней.

Мне непонятно, что вы имеете ввиду. Ведь в примере вектор не является нулевым. И его разложение на оси x нулевой вектор. Аналогично и в теореме, но из того, что у нас на оси x разложение вектора дает нулевой вектор, совсем не следует, что вектор $\textbf a$ в плоскости xOy имеет нулевые координаты.

-- 26.05.2020, 19:57 --

mihaild в сообщении #1465285 писал(а):

StepV в сообщении #1465282 писал(а):

Вектор $\texttbf a$ ни при каких условиях не может принадлежать оси х

Почему? Есть какая-то теорема о том, что вектор, перпендикулярный подпространству, не лежит в этом подпространстве?

Теоремы не встречал, но координаты этого вектора в таком подпространстве все автоматически нуль. Можно сказать, конечно, что все вектора перпендикулярные подпространству являются его нуль-вектором. Но опять вернусь к теореме. В ней из этого факта пытаются обнулить координаты этого вектор в другом подпространстве, где он лежит и может иметь ненулевые координаты. В доказательстве теоремы меня смущает именно этот факт.

[mihaild]

StepV в сообщении #1465287 писал(а):

у нас на оси x разложение вектора дает нулевой вектор, совсем не следует, что вектор $\textbf a$ в плоскости xOy имеет нулевые координаты

Непонятно, что вообще значит эта фраза. Что такое "разложение вектора на оси", что такое "координаты в плоскости"?

StepV в сообщении #1465287 писал(а):

Ведь в примере вектор не является нулевым

Какой? Вектор $h$ является нулевым, по предположению.
Вектора $f$ и $g$ априори нулевыми не являются, но мы доказываем, что и они нулевые. Собственно потому что они одновременно и принадлежат $L_0$ (т.к. принадлежат и $L_1$ и $L_2$), и выражаются через базис $L_2$ без использования компонент, соответствующих $L_0$ (т.к. мы можем это выражение явно записать, и оно собственно является определением $g$).

[Xaositect]

StepV в сообщении #1465287 писал(а):

В ней из этого факта пытаются обнулить координаты этого вектор в другом подпространстве, где он лежит и может иметь ненулевые координаты. В доказательстве теоремы меня смущает именно этот факт.

Какой именно переход в моем сообщении post1465281.html#p1465281 Вам кажется некорректным?

[mihaild]

StepV в сообщении #1465287 писал(а):

В ней из этого факта пытаются обнулить координаты этого вектор в другом подпространстве, где он лежит и может иметь ненулевые координаты

Непонятно, что это значит (что такое "координаты в подпространстве"?), и нет, не пытаются. В доказательстве говорят, что если вектор одновременно принадлежит и подпространству ($L_0$) и "перпендикулярному" ему подпространству ($\langle f_1, \ldots, f_m\rangle$; на самом деле конечно не перпендикулярному - никакого скалярного произведения нет - а просто дополнению $L_0$ в $L_2$), то этот вектор нулевой.
По ходу доказательства нигде никакие проекции не используются, все равенства берутся в смысле равенства векторов в исходном общем пространствве.

[StepV]

[

Xaositect в сообщении #1465290 писал(а):

Какой именно переход в моем сообщении post1465281.html#p1465281 Вам кажется некорректным?

Вот этот:

Xaositect в сообщении #1465281 писал(а):

Мы получили два разложения одного и того же вектора в одном и том же базисе:
$f = \zeta_1 e_1 + \dots + \zeta_k e_k + 0 \cdot f_1 + \dots + 0 \cdot f_m$
$f = 0 \cdot e_1 + \dots + 0 \cdot e_k + \gamma_1 f_1 + \dots + \gamma_m f_m$
Но разложение по базису однозначно, значит, все $\zeta$ и $\gamma$ должны быть нулями, и $f = 0$.

У нас не прямая сумма подпространств, а обычная с наличием пересечений. Поэтому однозначность разложения вектора отсутствует.

[mihaild]

StepV в сообщении #1465295 писал(а):

У нас не прямая сумма подпространств, а обычная с наличием пересечений

У нас уже нет никакой суммы подпространств, это два разложения вектора $f$ по базису пространства $L_2$.

[Xaositect]

StepV в сообщении #1465295 писал(а):

У нас не прямая сумма подпространств, а обычная с наличием пересечений. Поэтому однозначность разложения вектора отсутствует.

$e_1, \dots, e_k, f_1, \dots, f_m$ - это базис $L_2$.
$f$ - это вектор в $L_2$.
У него разложение однозначно.

В Вашем упрощенном примере на плоскости этот переход соответствует такому: из одних соображений мы получили, что вектор лежит на оси $Ox$, а из других соображений - что он лежит на оси $Oy$. Следовательно, этот вектор нулевой.