Доказать неравенство.

[kot-obormot]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, разобраться! Есть ли способ проще? Я вижу только в лоб. Неравенство для 8 класса.

Есть неравенство $x^4+(2-x)^4\geqslant 2$

Можно раскрыть скобки. Получаем $x^4+y^4=2(x^4-4x^3+12x^2-16x+8)\geqslant 2$

Иными словами $x^4-4x^3+12x^2-16x+7\geqslant 0$

Далее, раскладываем многочлен на множители, получаем $x^4-4x^3+12x^2-16x+7=(x-1)^2(x^2-2x+7)\ge 0$

Ну и очевидно, что $(x-1)^2((x-1)^2+6)\ge 0$, квадрат неотрицательный, неравенство доказано.

Можно еще с другой стороны было зайти. Если $x>2$, то $x^4>16$, а значит $x^4+(2-x)^4\geqslant 2$.

Если $x<0$, то $(2-x)^4>16$, а значит $x^4+(2-x)^4\geqslant 2$.

Осталось рассмотреть случай $0\le x\le 2$, но вот тут уже не очевидно. Как быть?

Можно, конечно, рассмотреть графический способ, но есть ли варианты проще?

[gris]

Попробуйте замену, симметризирующую левую часть.

[SomePupil]

Можно нарисовать $f(t)=(1-t)^4+(1+t)^4$ и убедиться, что все точки на графике лежат не ниже $2$. Только вопрос, построение графиков в 8 классе проходят ли и будет ли это считаться доказательством?

[gris]

Скобки они умеют раскрывать.

[kot-obormot]

gris в сообщении #1465019 писал(а):

Попробуйте замену, симметризирующую левую часть.

Спасибо! Это будет $x=1-t$, после можно рассмотреть случаи $t>1$, $t=1$, $t<1$. Но как догадаться, что такая замена симметризует, и как догадаться 8-класснику до идеи такой замены-симметризации?

[Pphantom]

kot-obormot в сообщении #1465026 писал(а):

после можно рассмотреть случаи $t>1$, $t=1$, $t<1$.

Там не надо рассматривать случаи. Достаточно лишь раскрыть скобки, после чего обнаружится, что в левой части стоит заведомо неотрицательный многочлен плюс 2.

[gris]

Вообще-то метод введения новых переменных (замены, подстановки) обычно изучают в 9 классе. Раскрыть скобки и привести подобные умеют уже семиклассники. Свойства степенной функции знают восьмиклассники. Дополнительно, конечно, изучаются различные приёмы. Например, могут решать уравнения, приводимые к квадратным очевидной заменой. Это, всё же, повышенный уровень и учебники этого уровня. Но обычные восьмиклассники ещё не очень понимают эти штуки. А метод приведения к симметричным выражениям бывает эффективен.

Кстати, вспомнил. В продвинутом учебнике Виленкина есть главы (со *), посвящённые симметрическим системам. Тут можно сделать так: ввести новые переменные $u$ и $v$ и получить систему
$u^4+v^4\geqslant 2; u+v= 2.$
Не уверен насчёт доказательства неравенств, но уравнения таким образом решают.

[Someone]

kot-obormot в сообщении #1465026 писал(а):

Но как догадаться, что такая замена симметризует, и как догадаться 8-класснику до идеи такой замены-симметризации?

Если Вам надо симметризовать $x-a$ и $x-b$, надо в качестве новой переменной взять "середину" между $x-a$ и $x-b$, поэтому делаете подстановку $t=\frac 12((x-a)+(x-b))=x-\frac{a+b}2$. Но большинство даже старших школьников нужно просто научить.

[kot-obormot]

Спасибо, разобрался!