Полиномы Эрмита в полиномах Белла

[_hum_]

В процессе работы потребовалось объяснить поведение 3-ей производной следующей функции:
$L(x) = \ln \dfrac{1-\Phi(x)}{\Phi(x)}, \quad \Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{t^2}{2}}\mathrm{d}t.$
А именно, мне принципиально важно:
- показать, что ее сужения монотонны на положительной и отрицательной полуосях;
- показать, что она убывает на бесконечности и установить скорость убывания.
Вот ее график:

(fig.1)

Решил исследовать в общем виде (потому что, возможно, потребуется знание соответствующей информации и относительно других производных), потому обратился к Fa di Bruno's formula.
Пользуясь тем, что $\Phi(x) = \frac{1}{2}\big(1 + \mathrm{erf}(\frac{x}{\sqrt{2}})\big)$ и что, соответственно,

$$L(x) = f(g(x)), \quad \mathtext{ где }\, f(u) = \ln \bigg(\frac{ 1-u}{1 + u} \bigg), \quad g(x) = \mathrm{erf}\bigg(\frac{x}{\sqrt{2}}\bigg), $$

а также учитывая, что

$$f^{(p)}(u) = \Gamma(p)\Big((-1)^p(1+u)^{-p} - (1 - u)^{-p}\Big), \quad \mathrm{erf}^{(p)}(x) = \frac{2 (-1)^{p-1}}{\sqrt{\pi}}\mathrm{H}_{p-1}(x)e^{-x^2}, $$

где $\mathrm{H}_{p}$ - "физический" полином Эрмита, получаем:

$$L^{(n)}(x) \,=\, \sum_{k=1}^{n}\Gamma(k)\Bigg( \frac{(-1)^k}{\Big(1+\mathrm{erf}\big(\frac{x}{\sqrt{2}}\big)\Big)^{k}} - \frac{1}{\Big(1-\mathrm{erf}\big(\frac{x}{\sqrt{2}}\big)\Big)^{k}}\Bigg)\frac{2^k (-1)^{n-k}}{2^\frac{n}{2} \pi^{\frac{n}{2}}} e^{-k\frac{x^2}{2}}B_{n,k}\Big(\mathrm{H}_{0}\big(\frac{x}{\sqrt{2}}\big), ..., \mathrm{H}_{n-k}\big(\frac{x}{\sqrt{2}}\big)\Big).$$

И вот тут произошел затык. Оказалось, что просто грубо взять оценить асимптотики нельзя - экспоненты просто сокращаются, и начинается какая-то тонкая игра между полиномами (они так суммируются с соответствующими знаками, что взаимно "гасят другу дружку"). Но как это объяснить - непонятно. Есть предположение, что участвующие выражения полиномов Эрмита в полиномах Белла через какую-то комбинаторную формулу можно свернуть, но явно подходящей формулы не нашел.
Очень близко к этому были следующие факты: Bell polynomials Convolution identity и похожая формула свертки для полиномов Эрмита (см. Hermite_polynomials Recurrence relation), но, как назло, они "чуть-чуть" отличаются в суммировании (в первой свертке начинается не с первого элемента).
Если кто-то с чем-то подобным сталкивался, буду признателен за информацию.

[novichok2018]

График какой функции нарисован? Логарифм не должен на бесконечностях к бесконечности стремится? Ф(x) куда стремится на бесконечностях?
Про формулу Фаа Ди Бруно: вот в этой статье
K.S. Miller & S.G. Samko (2001): Completely monotonic
functions, Integral Transforms and Special Functions, 12:4, 389-402
есть её упрощённый вариант.

[g______d]

Нарисован график $L'''(x)$.

На самом деле я думаю, что там всё проще (хотя явных формул не знаю).

Нужно представить функцию в виде $\ln (1-\Phi(x))-\ln\Phi(x)$ и использовать асимптотику отсюда:

https://en.wikipedia.org/wiki/Error_fun ... _expansion

Вроде эту асимптотику можно дифференцировать любое число раз (но даже если нельзя, то уже для первой производной есть явная формула и можно пользоваться ей. Но скорее всего они совпадут). Для $1-\Phi(x)$, соответственно, тоже есть асимптотика. Чтобы получить логарифм, можно просто взять ряд для $\ln(1+x)$ в окрестности $x=0$ (в случае $1-\Phi(x)$ нужно предварительно один множитель вынести за логарифм), потом в этот ряд подставить вышеуказанную асимптотику.

Дальше всё равно будет двойной ряд, но сходиться он должен скорее всего нормально, и думаю, что третью производную можно выписать без особых проблем (в главном порядке с оценкой остатка).

Явных формул у меня нет (хотя с двойным суммированием можно выписать), но вроде проще, чем изначально предложенное.

[_hum_]

novichok2018
График для третьей производной.
Статью, к сожалению, в открытом доступе в интернете не нашел :(

g______d
Я не знаком близко с работой с рядами в таком ключе, но разве все в конечном итоге не сведется к похожему, к работе с той же формулой Фаа-ди-Брюно и полиномами Белла, только в варианте для рядов - Fa di Bruno's formula, Formal power series version?
Да и с рядами ту же монотонность потом наверное труднее будет устанавливать (а мне ведь и это нужно тоже).

p.s. Как-то удивительно все это - вроде, всего-то третья производная, вот же он, график перед тобой, все видно, а математически получить монотонность и асимптотики оказывается далеко не тривиально...(Ну, или я все усложняю...)

[novichok2018]

Если не умеете искать статью по DOI но статья нужна, напишите мне в личку.
Может просто посчитать третью производную руками? Ну и 4ю, для монотонности? Вряд ли особо трудно, нет?
Или на МАТЕМАТИКЕ?

[arseniiv]

_hum_ в сообщении #1464988 писал(а):

вот же он, график перед тобой, все видно

(Но ведь это иллюзорно. Мы видим только конечную часть графика, нарисованного с конечной точностью. Есть немало случаев, когда и то, и это кусали людей за нос. А когда функция достаточно хорошая и мы это откуда-то знаем, это же знание мы можем применить в точном доказательстве, так что нижняя граница трудности правильного суждения по виду графика не может быть значительно меньше нижней границы трудности «аналитического» доказательства.

Извините, что не даю никакого полезного совета, просто следил за темой и подумал, что это не будет совсем уж лишним в момент ожидания после того как появились хоть какие-то обещающие подходы.)

[_hum_]

novichok2018
по DOI нашел. Если вы вели речь про другую формулу n-ой производной, то она есть и у Бурбаки, но ее использовать затруднительно, потому что надо вычислять производные от $erf(x)^k$, что не приводит ни к какой красивой формуле.

Насчет явного вида производных, я уже с этого начинал. Вот получаются такие выражения в Mathematica (при полном упрощении) [не знаю, почему-то разрешение картинки тут получается при вставки плохое]:

(рис.1 Первые четыре производные функции L(x))

вот, соответственно, их графики:

(рис. 2 Графики первых четырех производных функции L(x))

Попытаться доказать знакопостоянство веток 4-ой производной у меня просто не получилось (пришлось заниматься дотошной работой по оценке с помощью неравенств). Поэтому возникла идея, может быть, можно будет из общей формы как-то что-то разглядеть...

arseniiv
да, вот тут у меня реальный пример - на картинке для четвертой производной видны колебания - и вот тут, конечно, может закрасться сомнение - артефакты округления или специфика :)

[g______d]

_hum_ в сообщении #1464988 писал(а):

Да и с рядами ту же монотонность потом наверное труднее будет устанавливать (а мне ведь и это нужно тоже).

С рядами да. Я имел в виду оставить только конечное число членов с оценкой остатка, и доказать знакопостоянство четвёртой производной хотя бы на бесконечности.

После этого на оставшемся конечном интервале можно проверить численно отсутствие нулей. Поскольку формула для функции явная, можно написать оценку для производной и найти параметры численного метода, достаточные для гарантированного отсутствия нулей.

Но как-то это сложно, должно быть проще.

Последний график какой-то странный. Если мы исследуем знакопостоянство, нужно хотя бы выкинуть заведомо знакопостоянные множители, в данном случае знаменатель, который создаёт артефакт. update: похоже не помогает...

-- Пн, 25 май 2020 11:59:39 --

Кажется, я понял, откуда там артефакт.

Если представить в виде разности логарифмов и продифференцировать 4 раза, получится 12 слагаемых, в которых возникает одно и то же выражение в разных степенях с полиномиальными коэффициентами:

$$ \left(\frac{e^{-x^2/2}}{1\pm \mathrm{erf}(x/\sqrt{2})}\right)^n $$

6 слагаемых с плюсом и 6 с минусом (степени $n$ разные). Каждое из этих слагаемых на одной бесконечности экспоненциально убывает, а на другой $e^{-x^2/2}$ в главном порядке сокращается и получается что-то с полиномиальной асимптотикой. Mathematica этого не видит и делит одну экспоненту на другую.

Возможно, это подскажет путь к доказательству, если ввести две этих функции отдельно. На самом деле это даже одна функция, вычисленная в $x$ и $-x$ (логарифмическая производная от $1+\mathrm{erf}(x/\sqrt{2})$).

-- Пн, 25 май 2020 12:06:24 --

(Код, если кто хочет к себе скопировать)

g[x_] := Log[1 + Erf[x/Sqrt[2]]]

D[D[D[D[g[x], x], x], x], x]

-((24 E^(-2 x^2))/(\[Pi]^2 (1 + Erf[x/Sqrt[2]])^4)) - (
 24 Sqrt[2] E^(-((3 x^2)/2)) x)/(\[Pi]^(
  3/2) (1 + Erf[x/Sqrt[2]])^3) + (
 8 E^-x^2)/(\[Pi] (1 + Erf[x/Sqrt[2]])^2) - (
 14 E^-x^2 x^2)/(\[Pi] (1 + Erf[x/Sqrt[2]])^2) + (
 3 E^(-(x^2/2)) Sqrt[2/\[Pi]] x)/(1 + Erf[x/Sqrt[2]]) - (
 E^(-(x^2/2)) Sqrt[2/\[Pi]] x^3)/(1 + Erf[x/Sqrt[2]])

h[x_] := Log[1 - Erf[x/Sqrt[2]]]

D[D[D[D[h[x], x], x], x], x]

-((24 E^(-2 x^2))/(\[Pi]^2 (1 - Erf[x/Sqrt[2]])^4)) + (
 24 Sqrt[2] E^(-((3 x^2)/2)) x)/(\[Pi]^(
  3/2) (1 - Erf[x/Sqrt[2]])^3) + (
 8 E^-x^2)/(\[Pi] (1 - Erf[x/Sqrt[2]])^2) - (
 14 E^-x^2 x^2)/(\[Pi] (1 - Erf[x/Sqrt[2]])^2) - (
 3 E^(-(x^2/2)) Sqrt[2/\[Pi]] x)/(1 - Erf[x/Sqrt[2]]) + (
 E^(-(x^2/2)) Sqrt[2/\[Pi]] x^3)/(1 - Erf[x/Sqrt[2]])

D[D[D[D[g[x], x], x], x], x] + D[D[D[D[h[x], x], x], x], x]

-((24 E^(-2 x^2))/(\[Pi]^2 (1 - Erf[x/Sqrt[2]])^4)) + (
 24 Sqrt[2] E^(-((3 x^2)/2)) x)/(\[Pi]^(
  3/2) (1 - Erf[x/Sqrt[2]])^3) + (
 8 E^-x^2)/(\[Pi] (1 - Erf[x/Sqrt[2]])^2) - (
 14 E^-x^2 x^2)/(\[Pi] (1 - Erf[x/Sqrt[2]])^2) - (
 3 E^(-(x^2/2)) Sqrt[2/\[Pi]] x)/(1 - Erf[x/Sqrt[2]]) + (
 E^(-(x^2/2)) Sqrt[2/\[Pi]] x^3)/(1 - Erf[x/Sqrt[2]]) - (
 24 E^(-2 x^2))/(\[Pi]^2 (1 + Erf[x/Sqrt[2]])^4) - (
 24 Sqrt[2] E^(-((3 x^2)/2)) x)/(\[Pi]^(
  3/2) (1 + Erf[x/Sqrt[2]])^3) + (
 8 E^-x^2)/(\[Pi] (1 + Erf[x/Sqrt[2]])^2) - (
 14 E^-x^2 x^2)/(\[Pi] (1 + Erf[x/Sqrt[2]])^2) + (
 3 E^(-(x^2/2)) Sqrt[2/\[Pi]] x)/(1 + Erf[x/Sqrt[2]]) - (
 E^(-(x^2/2)) Sqrt[2/\[Pi]] x^3)/(1 + Erf[x/Sqrt[2]])

[_hum_]

g______d
да, похоже, все идет на игре мультипликативного довеска в виде ряда в разложении erfc. Только надо как-то это увидеть.

[mihiv]

$$L^{(n)}(x) \,=\, \sum_{k=1}^{n}\Gamma(k)\Bigg( \frac{(-1)^k}{\Big(1+\mathrm{erf}\big(\frac{x}{\sqrt{2}}\big)\Big)^{k} - \Big(1-\mathrm{erf}\big(\frac{x}{\sqrt{2}}\big)\Big)^{k}}\Bigg)\frac{2^k (-1)^{n-k}}{2^\frac{n}{2} \pi^{\frac{n}{2}}} e^{-k\frac{x^2}{2}}B_{n,k}\Big(\mathrm{H}_{0}\big(\frac{x}{\sqrt{2}}\big), ..., \mathrm{H}_{n-k}\big(\frac{x}{\sqrt{2}}\big)\Big).$$

А с чем здесь сокращается экспонента? В знаменателе $\left (1+\mathrm {erf} (\frac x{\sqrt 2})\right )^k\to 2^k, \left (1-\mathrm {erf}(\frac x{\sqrt 2}) \right )^k\to 0$.

[_hum_]

mihiv

$$1-\mathrm {erf}( x) \sim \frac{1}{x\sqrt{\pi}}e^{-x^2}, \quad x\to +\infty $$

[mihiv]

_hum_
Я имею в виду $e^{-k\frac {x^2}{2}}$ перед полиномом $B_{n,k}$. Она ни с чем не сокращается, поскольку знаменатель дроби с функциями $\mathmr {erf}$$\sim 2^k$. Поэтому понятно, что $L^{(n)}(x)\to 0$ при $x\to \infty $.

[_hum_]

mihiv
извиняюсь, там описка в формуле. Нужно:

$$L^{(n)}(x) \,=\, \sum_{k=1}^{n}\Gamma(k)\Bigg( \frac{(-1)^k}{\Big(1+\mathrm{erf}\big(\frac{x}{\sqrt{2}}\big)\Big)^{k}} - \frac{1}{\Big(1-\mathrm{erf}\big(\frac{x}{\sqrt{2}}\big)\Big)^{k}}\Bigg)\frac{2^k (-1)^{n-k}}{2^\frac{n}{2} \pi^{\frac{n}{2}}} e^{-k\frac{x^2}{2}}B_{n,k}\Big(\mathrm{H}_{0}\big(\frac{x}{\sqrt{2}}\big), ..., \mathrm{H}_{n-k}\big(\frac{x}{\sqrt{2}}\big)\Big).$$

А здесь у модераторов можно попросить внести исправления в первый пост?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»