Помогите, пожалуйста, разобраться с конформностью ТФКП

[artempalkin]

Brukvalub в сообщении #1465095 писал(а):

проверяется "вручную", прямым подсчетом.

А как, если не секрет? Меня вот это и волнует, потому что я что-то не понимаю процедуры на данном этапе.

[Brukvalub]

Я в предыдущем сообщении добавил, как проверять, но при этом сообщение удвоилось.

[artempalkin]

Brukvalub в сообщении #1465095 писал(а):

если заметить, что это отображение задается формулой $f(z)=z\cdot|z|$

Ооо, ну да. Оно просто неравномерно меняет длину всех векторов, но не меняет их направлений. А значит и угол между двумя векторами не изменит. При этом простое масштабирование типа $f(z)=a\cdot z$ не подошло бы, т.к. производная не обращалась бы в ноль.
Хорошо, что здесь мы уточнили, но общий метод мне все равно непонятен. Надо подумать, как доказать конформность в таком случае в общем виде... Спасибо большое за помощь! Если будут еще мысли (или какой-то пример увидите), пишите, пожалуйста!

[artempalkin]

Дорогие друзья! С помощью уважаемого Brukvalub я вроде разобрался с конформностью как таковой. Но все еще не до конца понятны вопросы о том,

1) что такое локальная конформность, и

2) как исследовать в общем случае на конформность функцию в точке, в которой она дифференцируема и производная равна нулю (и какие-то примеры)

[Padawan]

Попробуйте почитать эту книжку http://lib.mexmat.ru/books/44022

-- Вт май 26, 2020 13:13:23 --

Вы в какие-то дебри пытаетесь залезть. Считайте, что конформное отображение - это однолистное (т.е. иньективное) отображение, задаваемое аналитической функцией. Локально конформное - отображение, задаваемое аналитической функцией с $f'(z)\neq 0$. Если Вам этого не хватает, то см. указанную книжку.

P.S. Кроме аналитических функций ещё подойдут сопряжённые к ним.

[artempalkin]

Padawan в сообщении #1465146 писал(а):

Вы в какие-то дебри пытаетесь залезть. Считайте, что конформное отображение - это однолистное (т.е. иньективное) отображение, задаваемое аналитической функцией. Локально конформное - отображение, задаваемое аналитической функцией с $f'(z)\neq 0$. Если Вам этого не хватает, то см. указанную книжку.

А как с этой точки зрения классифицируется рассмотренная функция $f(z)=z\cdot |z|$?

Brukvalub рекомендует мне не читать слишком много книг, а вы присылаете мне ссылку на еще одну книгу, причем, кажется, очень сложную :) Я не математик-профессионал, в том-то и проблема, что я не совсем понимаю о чем речь и в чем разница.

[Padawan]

artempalkin в сообщении #1465158 писал(а):

А как с этой точки зрения классифицируется рассмотренная функция $f(z)=z\cdot |z|$?

Это ни конформное, ни локально конформное отображение, потому что функция $f$ не является аналитической или сопряженно-аналитической.