Задача про p=8k+3=a^2+bc

[Руст]

Для простых $n$ имеется элементарное решение (без гипотезы Римана).
Пусть $k^2<n<(k+1)^2$. Квадраты не представляются в таком виде только при $n=1^2, 2^2,3^2,4^2$ ($k^2=(k-2)^2+4(k-1), \ k>4$).
Если $n-k^2<k+1$, то $a=k, b=1, c=n^2-k<\sqrt n$.
Ecли $n^2-k$ не простое, то $a=k, b=$ минимальный простой делитель $n-k^2$, $c=\frac{k^2-n}{b}$.
В противном случае $(k+1)^2-n=2s$. Если $s$ четное, то $n-(k-1)^2=4*(k-1-s/2), a=k-1,b=4,c=k-1-c/2<\sqrt n$.
Если $p|s$ и $p$ не делит $n$, то $(k+1)^2=n\mod p$. Пусть $l=k+1 \mod p$. Возьмем в качестве $a=k+1-l$, если $l$ четное, иначе $a=k+1+p-2l$ или $a=k+1-l-p$.
При этом $b=2p, c=\frac{n-a^2}{2p}<\sqrt n$.
Следовательно, осталось рассмотреть только случай, когда $p|k+1\to (\frac{n}{p})=0$.
Если $p^2|s$, то $a=k+1-p, b=p^2, c=\frac{n-a^2}{p^2}<\sqrt n$.
Остается только случай $n=(k+1)^2-2s, s=rad(s) -odd, s<\sqrt n, s|k+1\to s|n$.
Если $n-$ простое, то $s=1$, и $n=(k+1)^2-2$. При этом $n=7\mod 8$. Такими являются только $7=3^2-2,23=5^2-2,47=7^2-2,167=13^2-2.$