Максимизировать площадь треугольника при заданной медиане

[Juicer]

nnosipov в сообщении #1464870 писал(а):

Ничего не остается, как решить задачу усилием воли

да чёрт возьми, не могу понять, что я сделал не так.
Можете посмотреть, что я вам до этого написал? С Героном и медианой?

[Sicker]

Juicer
Задача очень легко решается через метод множителей Лагранжа

[Juicer]

Brukvalub в сообщении #1464856 писал(а):

Он сказал, что ему не надо, поскольку он все уже решил.

хорошая шутка, кстати(нет)

-- 25.05.2020, 01:53 --

Sicker

ПОЛНЫЙ ХОХОТАЧ

[Sicker]

Juicer в сообщении #1464893 писал(а):

ПОЛНЫЙ ХОХОТАЧ

Хотите решение под катом напишу?

[Juicer]

Sicker в сообщении #1464894 писал(а):

решение

ну я же писал ранее, что пытаюсь решить неравенствами, нельзя использовать производные...

[Sicker]

Juicer
Ну тогда это, удачи вам
А решение с производными я напишу все таки, для красоты

[Sicker]

(Оффтоп)

Короче отношение высоты с основанию $\frac{3}{2}$

nnosipov в сообщении #1464870 писал(а):

По поводу Лагранжа: найдите минимум вот этой штуки $\cos{x}\cos{y}\cos{(x+y)}$. (К сожалению, здесь тоже есть геометрическое решение, так что будет соблазн ... Но мы хотим Лагранжем.)

Лагранж говорит, что ответ $-\frac{1}{8}$

[Juicer]

Sicker в сообщении #1464896 писал(а):

напишу

так где же оно?

[Sicker]

Juicer в сообщении #1464902 писал(а):

так где же оно?

Вот же, лови его!
$S=ab$, где $b$-высота, $a$-половина основания
Дифференциалы $db$ и $da$ должны быть перпендикулярны медиане $6adb=-\frac{2}{3}bda$
Условие экстремума площади $d(ab)=adb+bda=0$
В итоге имеем $d(ab)=adb+bda=bda-\frac{9a^2}{b}da=0$
$b=3a$

[Juicer]

Sicker в сообщении #1464904 писал(а):

Вот же, лови его!

Пiймав!

[TOTAL]

Juicer в сообщении #1464810 писал(а):

Дан равнобедренный треугольник и дана медиана, опущенная на одну из боковых сторон.
Нужно максимизировать площадь треугольника.

А если так:
Дана медиана, опущенная на сторону треугольника, которая в $\beta$ раз длиннее другой стороны.
Нужно максимизировать площадь треугольника.

[nnosipov]

Juicer в сообщении #1464884 писал(а):

да чёрт возьми, не могу понять, что я сделал не так.

Возможно, Герон стал источником вычислительных ошибок. Советую просто все с самого начала аккуратно пересчитать. Еще раз перечитайте мой рецепт (второе сообщение в теме) и сделайте ровно так, как там написано. (У меня все получилось, но со второго раза, а в первый раз была арифметическая ошибка.)

-- Пн май 25, 2020 14:50:11 --

Sicker

(Оффтоп)

Лагранжу привет и мои поздравления с правильным ответом. Надеюсь, решение тоже правильное.

[gris]

Мне кажется, что ТС правильно посчитал все формулы. Но.

(Оффтоп)

Я бы вначале на всякий случай привёл неравенство треугольника для $c: c<\dfrac {2\sqrt 2}{3} m$ для обоснования применения неравенства AG-AM.

Вот вариант применения:
По формулам Герона и медиан получаем $S=\dfrac34\sqrt{\bigg(\dfrac{16}9m^2-c^2\bigg)\cdot c^2}$
Отсюда с помощью AG-AM получаем $S_{MAX}= \dfrac23 m^2$ при $\dfrac{16}9m^2-c^2=c^2$.
Верящих в окончательное торжество безоглядного применения AM-GM приглашаю попробовать его на представлении формулы площади в виде $S=\sqrt{\bigg(mc+\dfrac34c^2\bigg)\cdot \bigg(mc-\dfrac34c^2\bigg)}$

[Juicer]

gris в сообщении #1464975 писал(а):

ТС правильно посчитал все формулы

да, на самом деле, посчитал правильно, а применил - нет.
Коши(am-gm) применяется, чтобы избавиться от зависимой переменной, а у меня она не ушла.
Там до квадрата дополнить сначала надо.