Максимизировать площадь треугольника при заданной медиане

[Juicer]

Дан равнобедренный треугольник и дана медиана, опущенная на одну из боковых сторон.
Нужно максимизировать площадь треугольника.
Подскажите, с чего начать?
Нужно ли тут использовать формулу для площади через медианы:

$$S = \dfrac{4}{3}\sqrt{\sigma(\sigma - m_1)(\sigma - m_2)(\sigma - m_3) }?$$

[nnosipov]

Juicer в сообщении #1464810 писал(а):

Нужно ли тут использовать формулу для площади через медианы:

Насколько я помню, квадрат медианы в любом треугольнике линейно выражается через квадраты сторон. Кроме того, квадрат площади также выражается (но уже нелинейно) через квадраты сторон. В итоге задача сведется к отысканию максимума квадратичной функции, в роли аргумента которой будет квадрат, к примеру, основания данного равнобедренного треугольника.

А эта формула Герона даст то же самое. Только находить площадь, перемножая основание на высоту и беря половину, как-то естественнее.

[Brukvalub]

Возможно, проще использовать тот факт, что медианы делят треугольник на 6 равновеликих частей.

[TOTAL]

Проведите окружность, на которой лежит макушка треугольника. (Очень легко.)

[gris]

А разве медиану опускают?
А я бы взял в качестве параметра некоторый угол и использовал формулу площади соответствующего треугольника, который, как учит Brukvalub, определяет цель.

-- Вс май 24, 2020 18:12:49 --

Интересно, что две медианы подойдут в любом треугольнике.

[Juicer]

TOTAL в сообщении #1464824 писал(а):

лежит макушка треугольника

Для чего? Только макушку? Так можно любую окружность провести

-- 24.05.2020, 19:42 --

gris в сообщении #1464831 писал(а):

А я бы взял в качестве параметра некоторый угол

Так у нас же изначально медиана задана

[TOTAL]

Juicer в сообщении #1464841 писал(а):

TOTAL в сообщении #1464824 писал(а):

лежит макушка треугольника

Для чего? Только макушку? Так можно любую окружность провести

Чтобы выбрать самую дальнюю от медианы.

[gris]

TOTAL А вот Вам устно я решу: Пусть медиана равна $9$, тогда максимальная площадь будет $54$.

[TOTAL]

gris в сообщении #1464845 писал(а):

TOTAL А вот Вам устно я решу: Пусть медиана равна $9$, тогда максимальная площадь будет $54$.

Мне не надо, я выше решил.

[FEBUS]

Окружность Аполлония делает задачу тривиальной.
Да. если медиана равна \;$3m$, то площадь $S=6m^2$.

[gris]

TOTAL
Ой, я не Вам хотел, ну раз Вам, то скажите, правильно ли? А то может бытья все перепутал перепутал

[Juicer]

TOTAL в сообщении #1464848 писал(а):

Мне не надо, я выше решил.

не понимаю, что вы пытаетесь сказать(если пытаетесь)

[gris]

Это он мне (Осенний Марафон )
Juicer, да уж кроме самого лучшего (моего) десять способов сказали. Выберите любой.

[Juicer]

nnosipov в сообщении #1464812 писал(а):

Насколько я помню,

вышло так:
Рассмотрим треугольник, у которого $a = b$ - боковые стороны, $c$ - основание, $m_b$ - медиана, которая дана по условию, тогда

$$m_b^2 = \dfrac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4} = \dfrac{a^2}{4} + \dfrac{c^2}{2}$$

Далее рассмотрим формулу Герона

$$S^2 = p(p - a)(p-b)(p -c), \; p = \dfrac{2a+c}{2} = a + \dfrac{c}{2}.$$

Приводя подобные, получим

$$S^2 = \Big(a^2 - \dfrac{c^2}{4} \Big) \dfrac{c^2}{4} = \Big(\dfrac{a^2}{4} - \dfrac{c^2}{16}\Big)c^2 =$$

$$= \Big(m^2_b - \dfrac{9c^2}{16}\Big) c^2 \Rightarrow \Bigg(\sqrt{\Big(m^2_b - \dfrac{9c^2}{16}\Big) c^2 }\Bigg)^2 \overset{AM-GM}{\leq} \Big(\dfrac{m^2_b}{2}+ \dfrac{7c^2}{32}\Big)^2 $$

Вот вопрос теперь, как максимизировать это выражение - у нас ведь медиана и основание - зависимые величины?

-- 24.05.2020, 20:39 --

gris в сообщении #1464854 писал(а):

Это он мне

я в целом о сообщениях этого товарища

gris в сообщении #1464854 писал(а):

Выберите любой.

на самом деле, интересно стало решить всеми. Вот по вашему я вопрос задал, а вы не ответили

[Brukvalub]

Juicer в сообщении #1464853 писал(а):

не понимаю, что вы пытаетесь сказать(если хотите)

Он сказал, что ему не надо, поскольку он все уже решил.

gris в сообщении #1464852 писал(а):

скажите, правильно ли?

Правильно, Вы не все не перепутали.
Juicer, докажите, что из медиан треугольника всегда можно построить тоже треугольник, причем его площадь составит 0,75 от площади исходного треугольника. Тогда задача решится устно, как у уважаемого gris.