Аналитические формулы для алгебраических уравнений?

[Pulseofmalstrem]

Всем известно, что у алгебраических уравнений высокой степени нет общей формулы, которая выражала бы корни уравнения через алгебраическую комбинацию из корней разной степени из коэффициентов данного уравнения.
Однако лично у меня возникает закономерный вопрос: А можно ли выразить корни алгебраического уравнения в виде аналитических степенных рядов (рядов*) коэффициенты которых выражались бы через коэффициенты уравнения? Если уточнить идею:
Пусть
$h_{n}(z)x^n + h_{n-1}(z)x^{n-1} + \dots + h_{1}(z)x+h_{0}=0$
есть некоторое алгебраическое уравнение на $x$. Здесь $h_{n} \dots h_{0}$ - функции комплексной переменной $z$, которые при фиксированном значении $z$ определяют конкретные коэффициенты. Тогда данное уравнение, вообще говоря, задает многозначную функцию переменной $z$, которая должна иметь $n$ ветвей каждая из которых может быть записана в виде степенного ряда по переменной $z$. Вопрос в том можно ли предложить такой набор аналитических функций $h_{n} \dots h_{0}$, что для любого набора $a_{n} \dots a_{0}$ коэффициентов найдется такая точка $z_0$, что $h_{n}(z_0) = a_n \dots h_{0}(z_0) = a_0$?

Есть ли какие-то работы или книги, посвященные близким темам?

[kotenok gav]

topic139002.html

[nnosipov]

Pulseofmalstrem в сообщении #1464385 писал(а):

Вопрос в том можно ли предложить такой набор аналитических функций $h_{n} \dots h_{0}$, что для любого набора $a_{n} \dots a_{0}$ коэффициентов найдется такая точка $z_0$, что $h_{n}(z_0) = a_n \dots h_{0}(z_0) = a_0$?

Пусть $n=1$. Вопрос о том, может ли отображение вида $z \mapsto (h_0(z),h_1(z))$ с аналитическими $h_i(z)$ быть сюръективным отображением из $\mathbb{C}$ в $\mathbb{C}^2$. Сомнительно, скорее всего, нет. Если $h_i(z)$ --- многочлены, то точно нет.

[Pulseofmalstrem]

nnosipov
Разумеется не многочлены. Я готов добавить существенно особые точки.

[Padawan]

nnosipov в сообщении #1464396 писал(а):

Вопрос о том, может ли отображение вида $z \mapsto (h_0(z),h_1(z))$ с аналитическими $h_i(z)$ быть сюръективным отображением из $\mathbb{C}$ в $\mathbb{C}^2$.

Так не может, конечно. Везде, кроме изолированных точек $(h'_0(z),h'_1(z))\neq 0$. У каждой такой точки найдётся окрестность, образ которой нигде не плотное множество (гомеоморфное этой окрестности). Получаем покрытие, из него можно выбрать конечное счётное подпокрытие, получится, что образ $\mathbb C$ при таком отображении будет множеством первой категории, а значит, по теореме Бэра не совпадает с $\mathbb C^2$ (на самом деле даже не имеет внутренних точек)

[Slav-27]

Не может по теореме Сарда (каждая точка критическая, следовательно, множество значений имеет меру $0$).