2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Аналитические формулы для алгебраических уравнений?
Сообщение21.05.2020, 16:03 


16/12/14
472
Всем известно, что у алгебраических уравнений высокой степени нет общей формулы, которая выражала бы корни уравнения через алгебраическую комбинацию из корней разной степени из коэффициентов данного уравнения.
Однако лично у меня возникает закономерный вопрос: А можно ли выразить корни алгебраического уравнения в виде аналитических степенных рядов (рядов*) коэффициенты которых выражались бы через коэффициенты уравнения? Если уточнить идею:
Пусть
$h_{n}(z)x^n + h_{n-1}(z)x^{n-1} + \dots + h_{1}(z)x+h_{0}=0$
есть некоторое алгебраическое уравнение на $x$. Здесь $h_{n} \dots h_{0}$ - функции комплексной переменной $z$, которые при фиксированном значении $z$ определяют конкретные коэффициенты. Тогда данное уравнение, вообще говоря, задает многозначную функцию переменной $z$, которая должна иметь $n$ ветвей каждая из которых может быть записана в виде степенного ряда по переменной $z$. Вопрос в том можно ли предложить такой набор аналитических функций $h_{n} \dots h_{0}$, что для любого набора $a_{n} \dots a_{0}$ коэффициентов найдется такая точка $z_0$, что $h_{n}(z_0) = a_n \dots h_{0}(z_0) = a_0$?

Есть ли какие-то работы или книги, посвященные близким темам?

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитические формулы для алгебраических уравнений?
Сообщение21.05.2020, 16:23 


21/05/16
4292
Аделаида
topic139002.html

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитические формулы для алгебраических уравнений?
Сообщение21.05.2020, 16:36 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Pulseofmalstrem в сообщении #1464385 писал(а):
Вопрос в том можно ли предложить такой набор аналитических функций $h_{n} \dots h_{0}$, что для любого набора $a_{n} \dots a_{0}$ коэффициентов найдется такая точка $z_0$, что $h_{n}(z_0) = a_n \dots h_{0}(z_0) = a_0$?
Пусть $n=1$. Вопрос о том, может ли отображение вида $z \mapsto (h_0(z),h_1(z))$ с аналитическими $h_i(z)$ быть сюръективным отображением из $\mathbb{C}$ в $\mathbb{C}^2$. Сомнительно, скорее всего, нет. Если $h_i(z)$ --- многочлены, то точно нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитические формулы для алгебраических уравнений?
Сообщение21.05.2020, 17:19 


16/12/14
472
nnosipov
Разумеется не многочлены. Я готов добавить существенно особые точки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитические формулы для алгебраических уравнений?
Сообщение21.05.2020, 17:46 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
nnosipov в сообщении #1464396 писал(а):
Вопрос о том, может ли отображение вида $z \mapsto (h_0(z),h_1(z))$ с аналитическими $h_i(z)$ быть сюръективным отображением из $\mathbb{C}$ в $\mathbb{C}^2$.

Так не может, конечно. Везде, кроме изолированных точек $(h'_0(z),h'_1(z))\neq 0$. У каждой такой точки найдётся окрестность, образ которой нигде не плотное множество (гомеоморфное этой окрестности). Получаем покрытие, из него можно выбрать конечное счётное подпокрытие, получится, что образ $\mathbb C$ при таком отображении будет множеством первой категории, а значит, по теореме Бэра не совпадает с $\mathbb C^2$ (на самом деле даже не имеет внутренних точек)

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитические формулы для алгебраических уравнений?
Сообщение21.05.2020, 18:00 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
Не может по теореме Сарда (каждая точка критическая, следовательно, множество значений имеет меру $0$).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group