Рационализация уравнения 4-эллипсов

[dmd]

(Оффтоп)

если правильно понял идею, то оно же в Вольфраматике:

[kotenok gav]

Нда, жаль. А есть ли какие-нибудь способы узнать уравнение именно внутренней части?

[novichok2018]

внутренняя часть - это когда все плюсы в исходном.

[kotenok gav]

Да это ясно. Но мы ведь хотим узнать уравнение именно его.

[novichok2018]

пока есть только долгая процедура от Someone.

[nnosipov]

novichok2018 в сообщении #1464198 писал(а):

пока есть только долгая процедура от Someone.

Разумеется, она даст то же самое (полиномиальное) уравнение. Или допускаются и не полиномиальные уравнения? Тогда чем исходное уравнение плохо?

Выделение нужного овала происходит с помощью неравенств. Можно потренироваться на гиперболе $x^2-y^2=1$, отделить одну ее ветвь от другой.

[Someone]

kotenok gav в сообщении #1464195 писал(а):

Да это ясно. Но мы ведь хотим узнать уравнение именно его.

Это исходное уравнение с радикалами.
Когда мы исключаем радикал путём возведения в квадрат по "моему" рецепту, мы "склеиваем" два уравнения. В одном из них перед радикалом стоит "$+$", перед другим — "$-$".

[novichok2018]

да, и процедура через результанты, извините.

[kotenok gav]

А, понял. Для нахождения длины/площади, нам надо решить $P(x,y)=0$ относительно $y$ (сомнительно, что есть алгебраическое решение, надо поискать другие (тут недавно была тема про тригонометрические решения таких уравнений, ща кину ссылку)). Для доказательства отсутствия/присутствия рациональной параметризации по методу Slav-27 надо найти особые точки $P$.

-- 21 май 2020, 03:08 --

topic139002.html
Так что площадь можно выразить в виде интегралов от степеней эллиптических функций.

[novichok2018]

kotenok gav "Так что площадь можно выразить в виде интегралов от степеней эллиптических функций" - почему? Там в теме про решение уравнений с одной переменной, тут с двумя. И для одного по формуле Меллина в виде ряда Горна гипергеометрического типа представляется, " в виде интегралов от степеней эллиптических функций" непонятно откуда и в этом случае следует.

[kotenok gav]

novichok2018 в сообщении #1464224 писал(а):

Там в теме про решение уравнений с одной переменной, тут с двумя.

Нет, нам надо именно выразить $y$ через $x$.

novichok2018 в сообщении #1464224 писал(а):

" в виде интегралов от степеней эллиптических функций" непонятно откуда и в этом случае следует.

Вы бы посмотрели мою ссылку в той теме.

-- 21 май 2020, 03:59 --

Если конкретнее, то https://en.wikipedia.org/wiki/Bring_rad ... terization. Это лишь для пятой степени, правда.

-- 21 май 2020, 04:01 --

В post1440681.html#p1440681 говорится, что можно решать уравнения большей степени с помощью обобщений эллиптических функций.

[Утундрий]

Дурацкая мысль: не являются ли "паразиты" инверсиями относительно некоторых окружностей?

[dmd]

В первом случае площадь внутренней области можно точно вычислить:

Это особенность булева интегрирования.

А вот во втором случае, увы, только приближённо, т.к. нужно вычесть лишние захваченные треугольнички в углах области интегрирования (вероятно их площадь чуть больше 0.2):

И думаю, здесь ответ должен быть ровно 2.

[kotenok gav]

dmd в сообщении #1464250 писал(а):

можно точно вычислить

Я не назвал бы это "точно".

[dmd]

достаточно точно