Рационализация уравнения 4-эллипсов

[novichok2018]

Ага, а про n-эллипс можно доказать, что он выпуклый. Значит, в середине он. Извините, действительно на картинках $n=3$, значит, 8 возможных расстановок знаков в семействе линий

$$ \pm r_1 \pm r_2 \pm r_3=c, $$

четыре остаются, четыре отпадают как невозможные. Понятно, отпадает со всеми минусами, а какие ещё три отбросить - сразу непонятно. Но это оказывается несложным. : случаи с двумя и одним минусом разбиваются на три пары, каждая пара содержит в левой части такие выражения: $r_1-r_2-r_3, r_2+r_3-r_1$, которые должны быть положительны, а это возможно только для одного случая из двух.
В общем случае такое рассуждение позволяет отбросить половину случаев. Но непонятно, что из второй половины все реализуются, геометрия может как-то этому помешать. Вот для обычного эллипса не два случая из четырёх остаются, а один, второй неравенство треугольника исключает.
Правда, там параметр связан с фокусами.

[Утундрий]

novichok2018 в сообщении #1464098 писал(а):

Ага, а про n-эллипс можно доказать, что он выпуклый. Значит, в середине он.

Это почти очевидно, а вот было бы интересно доказать, что все лишние фигуры будут не выпуклыми.

[kotenok gav]

Правая верхняя кривая тоже выглядит выпуклой.

[Утундрий]

kotenok gav в сообщении #1464121 писал(а):

Правая верхняя кривая тоже выглядит выпуклой.

Там на грани, но похоже что не-.

[novichok2018]

kotenok gav - кстати, может быть, согласен.
Возникает предположение: вариант кривой со всеми плюсами лежит внутри всех остальных. Если подумать - то оно очевидно из неравенств.
Ещё интересные, но, наверное, очень трудные вопросы. Что-то можно сказать про площадь и длину таких кривых? От длины протянулась бы ниточка к обобщению эллиптических интегралов.

[kotenok gav]

novichok2018 в сообщении #1464125 писал(а):

Что-то можно сказать про площадь и длину таких кривых?

Для этого, наверное, стоит полностью выписать многочлен этих кривых.

[novichok2018]

Вы правы, но явно до многочлена мы можем не дотянуться. Вот в этих вопросах помогла бы несложная параметризация, если она есть. Или хоть какая-то параметризация.

[kotenok gav]

Ну, этот многочлен является произведением восьми других (для различных знаков). Надо найти наш сомножитель, он вряд ли будет таким же огромным.

[nnosipov]

novichok2018 в сообщении #1464125 писал(а):

Что-то можно сказать про площадь и длину таких кривых?

Помнится, у Арнольда была популярная статья (то ли в "Кванте", то ли еще где) про площадь сегмента такого овала --- вроде она ведет себя как-то хорошо.

Вот, нашел: http://kvant.ras.ru/1987/12/vtoroj_zako ... opolog.htm На самом деле, все наоборот: если кривая гладкая (как у нас), то площадь сегментов не может быть алгебраической функцией. Арнольд приписывает этот факт Ньютону. Так что хорошо с площадями только в случае кривых с особенностями.

-- Ср май 20, 2020 19:16:38 --

kotenok gav в сообщении #1464139 писал(а):

Ну, этот многочлен является произведением восьми других (для различных знаков).

Так эти другие не многочлены. Думается, тот многочлен абсолютно неприводим (не разлагается ни над каким полем).

[kotenok gav]

nnosipov в сообщении #1464142 писал(а):

Думается, тот многочлен абсолютно неприводим (не разлагается ни над каким полем).

Ну, посмотрите там в Maple.

[nnosipov]

kotenok gav в сообщении #1464146 писал(а):

Ну, посмотрите там в Maple.

Честно говоря, лень (у нас сегодня +27, да и файл уже удалил). Уверен, что не разлагается. (Как в случае обычного эллипса, например.)

Еще один пример: эллиптическая кривая из двух кусков, ни один из которых не задашь отдельным алгебраическим уравнением.

[novichok2018]

Это интересно, что нет для площади сегментов таких простых формул, как многочлены. Может она тоже как и длина через эллиптические функции выражается или что-то ещё?
Когда-то тоже читал про эту теорему. Теперь смотрю на круг, площадь его секторов, и не верю, хотя должен.

[kotenok gav]

Ну, и длина кривой, и площадь выражаются через интеграл, если мы выразим $y=P(x)$.

[nnosipov]

novichok2018 в сообщении #1464149 писал(а):

Теперь смотрю на круг, площадь его секторов, и не верю, хотя должен.

Да, несколько необычно. Но, с другой стороны, когда площадь сегмента круга в общем виде напишешь, какой-нибудь арктангенс вылезет, совсем не алгебраический (все равно что логарифм).

[novichok2018]

nnosipov - +27 завидую, в центре России достаточно холодно, около 10 только.