2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Законы сохранения в метриках Керра и Керра-Ньюмана
Сообщение04.05.2020, 14:11 


27/08/16
8581
epros в сообщении #1459747 писал(а):
Утверждение "вечный двигатель невозможно построить" логически эквивалентно утверждению "существуют законы сохранения". Так что выбирайте: Либо ВД возможен, но его нам не удалось пока построить по собственной глупости, либо законы сохранения существуют, но почему-то есть трудности с тем, чтобы их сформулировать.
А что может мешать построить вечный двигатель в бесконечной вселенной?

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы сохранения в метриках Керра и Керра-Ньюмана
Сообщение04.05.2020, 16:21 


02/11/11
1265
schekn в сообщении #1460086 писал(а):
Я сторонник полевой теории

Какой именно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы сохранения в метриках Керра и Керра-Ньюмана
Сообщение13.05.2020, 22:49 


02/11/11
1265
Ясно, что выводить законы сохранения через псевдотензор нужно только в определенных координатах. С координатами из первого поста все отлично. Но если считать в координатах Керра-Шильда, то получается малость странный результат. Эту странность можно продемонстрировать и для метрики Шварцшильда в координатах Эддингтона-Финкельштейна, т.к. координаты Керра-Шильда при $a=0,e=0$ связаны с ними.

Итак исходим из метрики Шварцшильда в координатах Эддингтона-Финкельштейна (в первоначальной записи):
$$ds^2=dt^2-dr^2-r^2\,d\theta^2-r^2\sin^2\theta\,d\varphi^2-2\,m/r\,(dt+dr)^2$$
Применяем чисто пространственные преобразования в декартовы координаты $r=\sqrt{x^2 + y^2+z^2},\theta=\arccos \left( {\frac {z}{\sqrt{x^2 + y^2+z^2}}\right),\varphi=\arctg(y,x)$ и получаем компоненты метрического тензора в таком виде:
$\\
g_{tt}={\frac {\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}-2\,m}{\sqrt {{x
}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}}},\\
g_{tx}=-2\,{\frac {xm}{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}
}},\\
g_{ty}=-2\,{\frac {ym}{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}},\\
g_{tz}=-2\,{\frac {z
m}{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}},\\
g_{xx}={\frac {-2\,m{x}^{2}\sqrt {{x}^{2}+
{y}^{2}+{z}^{2}}- \left( {x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2} \right) ^{2}}{
 \left( {x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2} \right) ^{2}}},\\
g_{xy}=-2\,{\frac {yxm}{
 \left( {x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2} \right) ^{3/2}}},\\
g_{xz}=-2\,{\frac {zmx
}{ \left( {x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2} \right) ^{3/2}}},\\
g_{yy}={\frac {-2\,
\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}m{y}^{2}- \left( {x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2
} \right) ^{2}}{ \left( {x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2} \right) ^{2}}},\\
g_{yz}=-
2\,{\frac {zmy}{ \left( {x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2} \right) ^{3/2}}},\\
g_{zz}={\frac {-2\,{z}^{2}\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}m- \left( {x}^{2}+{
y}^{2}+{z}^{2} \right) ^{2}}{ \left( {x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2} \right)^{2}}}.
$

Так вот псевдотензор Ландау-Лифшица в этих координатах тождественно равен нулю.

Но некоторые компоненты суперпотенциала $h$ (96.2) ЛЛ2 не равны нулю. В частности, не равны нулю компоненты, нужные для вычисления энергии:
$$h^{ttx}=1/4\,{\frac {x\,m}{ \left( {x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2} \right) ^{3/2}\pi}}$$
$$h^{tty}=1/4\,{\frac {y\,m}{ \left( {x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2} \right) ^{3/2}\pi}}$$
$$h^{ttz}=1/4\,{\frac {z\,m}{ \left( {x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2} \right) ^{3/2}\pi}}$$
С помощью них мы получим правильный результат $E=m$.

Получается, что подынтегральное выражение формул (96.11) и (96.12) ЛЛ2 тождественно равно нулю. Но расчет по следующим из них формулам (96.15-16) конечен и такой, как надо.
В чем тут дело?

Скрипт на Maple

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы сохранения в метриках Керра и Керра-Ньюмана
Сообщение13.05.2020, 23:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
10065
KVV в сообщении #1462452 писал(а):
В чем тут дело?
Могу только повторить: вы занимаетесь вычисление величины, которая равна чему угодно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы сохранения в метриках Керра и Керра-Ньюмана
Сообщение13.05.2020, 23:37 


02/11/11
1265
Утундрий в сообщении #1462471 писал(а):
KVV в сообщении #1462452 писал(а):
В чем тут дело?
Могу только повторить: вы занимаетесь вычисление величины, которая равна чему угодно.

Я в курсе насчет псевдотензора. Но тут вопрос уже чисто математический - почему в данном случае при преобразовании с (96.11) в (96.16) с помощью теоремы Гаусса из нуля получается не нуль?

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы сохранения в метриках Керра и Керра-Ньюмана
Сообщение13.05.2020, 23:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
10065
KVV в сообщении #1462476 писал(а):
Я в курсе насчет псевдотензора. Но тут вопрос уже чисто математический - почему в данном случае при преобразовании с (96.11) в (96.16) с помощью теоремы Гаусса из нуля получается не нуль?
Не, так понятно. Но шо конкретно? (с) группа "Несчастный случай".

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы сохранения в метриках Керра и Керра-Ньюмана
Сообщение19.05.2020, 22:00 


02/11/11
1265
Поехали дальше)

Понятно, что расчет из стартового сообщения не слишком удовлетворителен - приходится задавать не просто плоское пространство-время на бесконечности, а обязательно в лоренцевых координатах, переводить метрику Керра-Ньюмана в декартовы координаты, в которых она выглядит монструозно, что также увеличивает вычислительную сложность расчета, и конечно, никуда не деваются все вопросы к псевдотензорам, как таковым.

Попробуем сделать расчет сохраняющихся величин метрики Керра-Ньюмана в координатах Бойера-Линдквиста - самая привычная запись этой метрики. Ненулевые компоненты метрического тензора выглядят так:
$\\
g_{tt}=1-{\frac {2\,mr}{{r}^{2}+{a}^{2} \left( \cos \left( 
\theta \right)  \right) ^{2}}}+{\frac {{e}^{2}}{{r}^{2}+{a}^{2}
 \left( \cos \left( \theta \right)  \right) ^{2}}}\\
g_{t\varphi}={\frac {a
 \left( \sin \left( \theta \right)  \right) ^{2} \left( -{e}^{2}+2\,mr
 \right) }{{r}^{2}+{a}^{2} \left( \cos \left( \theta \right)  \right) 
^{2}}}\\
g_{rr}=-{\frac {{r}^{2}+{a}^{2} \left( \cos \left( \theta
 \right)  \right) ^{2}}{{a}^{2}+{e}^{2}-2\,mr+{r}^{2}}}\\
g_{\theta\theta}=-{r}^{2}
-{a}^{2} \left( \cos \left( \theta \right)  \right) ^{2},\\
g_{\varphi\varphi}=-{
\frac { \left( \sin \left( \theta \right)  \right) ^{2} \left( {a}^{2}
 \left( {a}^{2}+{e}^{2}-2\,mr+{r}^{2} \right)  \left( \cos \left( 
\theta \right)  \right) ^{2}+ \left( -{e}^{2}+2\,mr+{r}^{2} \right) {a
}^{2}+{r}^{4} \right) }{{r}^{2}+{a}^{2} \left( \cos \left( \theta
 \right)  \right) ^{2}}}
$

Воспользуемся подходом Петрова с использованием произвольных криволинейных координат и векторов Киллинга плоского на бесконечности пространства-времени. Сохраняющиеся величины в этом случае буду выглядеть так:
$$\int T_{tot}^{\mu\nu}\xi_{\mu}^{(n)}\sqrt{-\gamma}dS_{\nu}$$
где $T_{tot}^{\mu\nu}$ - полный (псевдо)тензор энергии-импульса гравитационного поля и материи; $\xi_{\mu}^{(n)}$ - набор n векторов Киллинга плоского на бесконечности пространства-времени ("фона") - сколько векторов, столько и сохраняющихся величин; $\gamma$ - определитель плоского на бесконечности пространства-времени ("фона").
$T_{tot}^{\mu\nu}$ является тензором относительно любых преобразований координат плоского на бесконечности пространства-времени, т.е. относительно "фона", но он остается конечно псевдотензором "внутри", т.к. в ОТО нет настоящего тензора энергии-импульса гравитационного поля, и быть не может принципиально. Но в рамках рассматриваемой здесь островной задачи он остается тензором на бесконечности, чего мне и достаточно.

$T_{tot}^{\mu\nu}$ можно выбрать из статьи Бабака и Грищука в виде (77), но с другим порядком ковариантных производных:
$$T_{tot}^{\mu\nu}=\frac{1}{16\pi}\,\left[\left(\gamma^{\mu\nu}+h^{\mu\nu}\right)\left(\gamma^{\alpha\beta}+h^{\alpha\beta}\right)-\left(\gamma^{\mu\alpha}+h^{\mu\alpha}\right)\left(\gamma^{\nu\beta}+h^{\nu\beta}\right)\right]_{;\beta;\alpha}$$
где $\gamma^{\mu\nu}$ - метрика "фона", $h^{\mu\nu}$ - тензор "возмущений" относительно "фона", а точка с запятой означает ковариантное дифференцирование по метрике "фона". Величины $\gamma^{\mu\nu}$ и $h^{\mu\nu}$ связаны с физической метрикой $g_{\mu\nu}$ посредством известной формулы Дезера (формула (45) в статье Бабака и Грищука):
$$\sqrt{-g}\,g^{\mu\nu}=\sqrt{-\gamma}\left(\gamma^{\mu\nu}+h^{\mu\nu}\right)$$
С ее помощью $T_{tot}^{\mu\nu}$ можно записать так:
$$T_{tot}^{\mu\nu}=\frac{1}{16\pi}\,\left[\frac{(-g)}{(-\gamma)}\left(g^{\mu\nu}g^{\alpha\beta}-g^{\mu\alpha}g^{\nu\beta}\right)\right]_{;\beta;\alpha}$$
Формула похожа на (78) из вышеприведенной статьи, но там опечатка.

Это выражение для $T_{tot}^{\mu\nu}$ как можно видеть является ковариантным (относительно "фона") обобщением псевдотензора Ландау-Лифшица. Введем также обозначения, являющиеся обобщениями соответствующих величин из п. 96 ЛЛ2:
$$\lambda^{\mu\nu\alpha\beta}=\frac{1}{16\pi}\,\left[\frac{(-g)}{(-\gamma)}\left(g^{\mu\nu}g^{\alpha\beta}-g^{\mu\alpha}g^{\nu\beta}\right)\right]$$
$$h^{\mu\nu\alpha}=\lambda^{\mu\nu\alpha\beta}_{;\beta}$$
где $h^{\mu\nu\alpha}$ - обобщенный суперпотенциал, не путать с $h^{\mu\nu}$.
Из предыдущих формул получим:
$$T_{tot}^{\mu\nu}=h^{\mu\nu\alpha}_{;\alpha}=\lambda^{\mu\nu\alpha\beta}_{;\beta;\alpha}$$
Отсюда интеграл выше можно преобразовать в поверхностный:
$$\int T_{tot}^{\mu\nu}\xi_{\mu}^{(n)}\sqrt{-\gamma}dS_{\nu}=\oint \left(h^{\mu 1 \alpha}\,\xi_{\mu}^{(n)}-\lambda^{\mu 1 \alpha b}\,\xi_{\mu;\alpha}^{(n)}\right)\sqrt{-\gamma}df_{b}$$
где латинский индекс b пробегает только пространственные координаты (2,3,4). На вывод этой формулы меня натолкнул в переписке сам многоуважаемый А.Н. Петров, без его помощи я бы к этому не пришел.

Векторы Киллинга пространства-времени Минковского в лоренцевых координатах известны и тривиальны:
$$\xi_{\mu}^{(01)}=[1,0,0,0]$$
$$\xi_{\mu}^{(02)}=[0,1,0,0]$$
$$\xi_{\mu}^{(03)}=[0,0,1,0]$$
$$\xi_{\mu}^{(04)}=[0,0,0,1]$$
$$\xi_{\mu}^{(05)}=[-x,t,0,0]$$
$$\xi_{\mu}^{(06)}=[-y,0,t,0]$$
$$\xi_{\mu}^{(07)}=[-z,0,0,t]$$
$$\xi_{\mu}^{(08)}=[0,0,-z,y]$$
$$\xi_{\mu}^{(09)}=[0,-z,0,x]$$
$$\xi_{\mu}^{(10)}=[0,-y,x,0]$$
Если посмотреть на векторы Киллинга и на формулу выше для поверхностного интеграла можно убедиться, что формулы (96.16-17) ЛЛ2 являются просто ее частными случаями при неявном рассмотрении "фона" именно в лоренцевых координатах и при неявном использовании векторов Киллинга в лоренцевых координатах. Также и вышеприведенные выражения для псевдотензора и суперпотенциала превращаются в соответствующие формулы п. 96 ЛЛ2 - в них исчезает определить "фона" и ковариантные производные превращаются в обычные.

Получается, если мы считаем традиционным способом с помощью псевдотензоров в обычных производных, то фактически мы автоматом неявно закладываем в задачу "фон" в лоренцевых координатах и векторы Киллинга также в лоренцевых координатах. И конечно традиционные псевдотензоры имеют смысл только внутри этих рамок. А значит, нечего и удивляться, что использование псевдотензора ЛЛ в криволинейных координатах дает бред.

Более того, даже традиционная формула для 4-момента импульса в СТО (14.4) ЛЛ2:
$$M^{\mu\nu}=\sum(x^{\mu}p^{\nu}-x^{\nu}p^{\mu})$$
неявно содержит векторы Киллинга, соответствующие вращению вокруг осей, в лоренцевых координатах. Формула (14.4) ЛЛ2 не ковариантная и не будет работать в криволинейных координатах даже в СТО.
Т.е. если кому-то не нравится появление нековариантных формул в ОТО, начните с СТО. В СТО они тоже есть. : )

Чтобы получить законы сохранения в криволинейных координатах нужно получить векторы Киллинга в этих координатах. Можно прямо проинтегрировать соответствующие уравнения, но проще воспользоваться преобразованием координат. Если использовать только пространственные преобразования, то единственным вектором Киллинга, не изменившим форму, окажется 1-й, соответствующий сдвигу по времени и сохранению энергии. Например 10-й, соответствующий вращению вокруг оси z, в сферических координатах превратится в:
$$\xi_{\mu}^{(10)}=[0,0,0,r^2\sin(\theta)^2]$$
Для расчета сохраняющихся величин в метриках Керра и Керра-Ньюмана я кроме "фона" в сферических координатах воспользовался также "фоном" в координатах Бойера-Линдквиста, его можно получить из этих метрик, положив в них $m=0,e=0$. В ЛЛ2 это формула (104.7). В координатах Бойера-Линдквиста 10-й вектор Киллинга выглядит уже так:
$$\xi_{\mu}^{(10)}=[0,0,0,(r^2+a^2)\sin(\theta)^2]$$
Расчет для метрик Керра и Керра-Ньюмана с использованием разных "фонов" дал один и тот же результат во всех случаях - сохраняются только две ненулевые величины - энергия $m$ и момент импульса $m\,a$, соотвествующие 1-му и 10-му векторам Киллинга. А при расчете с "фоном" в координатах Бойера-Линдквиста совпали даже алгебраические подынтегральные выражения, соответствующие тем, что получены расчетом из стартового сообщения в лоренцевых координатах. Что подтверждает связь между подходами. Существенна разница вычислительной сложности. Скрипт из стартового сообщения на моем компьютере выполняется почти за 9 мин., а из этого - 20 с.

Скрипт в Maple

-- 19.05.2020, 22:01 --

И я подумал снова насчет парадокса с нулевым псевдотензором в координатах Эддингтона-Финкельштейна, что изложено пару сообщений назад. Все-таки, это ведь координаты свободно движущихся наблюдателей. Логично, что для них псевдотензор становится нулевым - они ведь локально инерциальны. Получается, физически никакого парадокса - нулевой псевдотензор четко в соответствии с ПЭ. А глобально все равно поверхностный интеграл дает m. Так что физически нет парадокса. Только "математически", если можно так сказать.

P.S. Если в вашей версии Maple расчет момента импульса дал $m\,a/3$ вместо $m\,a$, то в строчках кода:
Код:
val10 := simplify(SumOverRepeatedIndices((h[~mu, ~1, ~b]*vk10[mu] + lambda[~mu, ~1, ~nu, ~b]*D_[nu](vk10[mu]))*sqrt(-g)*df[b]), symbolic)

замените плюсы на минусы:
Код:
val10 := simplify(SumOverRepeatedIndices((h[~mu, ~1, ~b]*vk10[mu] - lambda[~mu, ~1, ~nu, ~b]*D_[nu](vk10[mu]))*sqrt(-g)*df[b]), symbolic)

Я поставил плюсы из-за глюка с расчетом ковариантных производных в Maple 2019.2. В версии Maple 2018 этого глюка нет, и там должны стоять минусы, что математически правильно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы сохранения в метриках Керра и Керра-Ньюмана
Сообщение19.05.2020, 22:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
10065
Давайте отвлечёмся от конкретики. В чём вообще может заключаться смысл и польза закона сохранения в ОТО?

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы сохранения в метриках Керра и Керра-Ньюмана
Сообщение19.05.2020, 23:27 


02/11/11
1265
Они там просто могут быть/есть в определенных случаях. Если есть симметрии в пространстве-времени и можно заключить все гравитационное поле в каком-то объеме (пусть и бесконечном), то законы сохранения есть и формулы для них ковариантны. Именно так в островной задаче. В общем случае пространство-время не имеет никаких симметрий, а значит нет и законов сохранения. В реальности астрофизические объекты только приближенно островные, в этом случае и законы сохранения приближенные. А насчет пользы, это индивидуально.

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы сохранения в метриках Керра и Керра-Ньюмана
Сообщение20.05.2020, 00:47 


02/11/11
1265
Update: поправил скрипт так, что глюк теперь обходится.

Скрипт в Maple

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы сохранения в метриках Керра и Керра-Ньюмана
Сообщение20.05.2020, 06:37 
Аватара пользователя


10/12/11
2303
Москва
Утундрий в сообщении #1464005 писал(а):
Давайте отвлечёмся от конкретики. В чём вообще может заключаться смысл и польза закона сохранения в ОТО?

Хотелось бы, чтобы теория была в целом непротиворечива и однозначна.
И физические результаты не зависели бы от выбора плоского "фона".
Автор темы похоже наткнулся на то же, на что и я пару лет назад, когда
я одной теме пытался фон строго привязать к метрике в ОТО.
Я не увидел у Петрова А.Н. какого-то строгого мехнизма выделения фоновой метрики.

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы сохранения в метриках Керра и Керра-Ньюмана
Сообщение20.05.2020, 08:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
10065
Вопрос, что вы собираетесь сохранять. Как обычно, интегралы от чего-то там по пространственно-подобным гиперповерхностям?

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы сохранения в метриках Керра и Керра-Ньюмана
Сообщение20.05.2020, 11:20 


26/04/08
1028
Гродно, Беларусь
Утундрий в сообщении #1464062 писал(а):
Вопрос, что вы собираетесь сохранять. Как обычно, интегралы от чего-то там по пространственно-подобным гиперповерхностям?

А почему бы не поработать со свето-подобной поверхностью. Если изотропную поверхность компактифицировать в $S^2 \times S^1$ (а это возможно, причём, с сохранением метрики простанства-времени), то площадь поверхности компактифицированного изотропного конуса можно было бы связать с плотностью гравитационной энергиии пространства-времени.

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы сохранения в метриках Керра и Керра-Ньюмана
Сообщение20.05.2020, 12:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
10065
bayak
Мне хотелось бы уяснить предел чаяний конкретно взятых schekn и KVV, а поработать-то можно вообще с чем угодно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы сохранения в метриках Керра и Керра-Ньюмана
Сообщение20.05.2020, 12:57 
Аватара пользователя


10/12/11
2303
Москва
Утундрий в сообщении #1464080 писал(а):
Мне хотелось бы уяснить предел чаяний конкретно взятых schekn

Я уже говорил, что приверженец полевой биметрической теории и там нет проблем с законами сохранения.
А требовать от ОТО того же нельзя в принципе. Надо с этим жить. Правда Epros высказал мнение,
что тогда в ОТО можно построить вечный двигатель. Жаль , что мы не закончили с вселенной Гёделя ( я туплю),
может там можно было это сделать.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 70 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group