Сложности с определенным интегралом (метод трапеций)

[DmitriyLutsenko]

Добрый вечер, уважаемые форумчане.

Вопрос возник с вычислением одного заковыристого интеграла методом трапеции.
Задание выполняю на языке программирования java, так как задание в этом и состоит.
Непосредственно, вот сама подынтегральная функция: $F(x) = 1 / ((x^{0.5}) (1 - x)^{3/4})$
Нижний предел интеграла $a = 0$
Верхний предел интеграла $b = 2$;

f(x) = (1 / (Math.sqrt(X) * Math.pow((1 - X), 3/4)))
f (0.0) = (1 / (Math.sqrt(0.0) * Math.pow((1 - 0.0), 3/4)))
f(0.0) = Infinity


f(x) = (1 / (Math.sqrt(X) * Math.pow((1 - X), 3/4)))
f (0.5) = (1 / (Math.sqrt(0.5) * Math.pow((1 - 0.5), 3/4)))
f(0.5) = 2.378414230005442


f(x) = (1 / (Math.sqrt(X) * Math.pow((1 - X), 3/4)))
f (1.0) = (1 / (Math.sqrt(1.0) * Math.pow((1 - 1.0), 3/4)))
f(1.0) = Infinity


f(x) = (1 / (Math.sqrt(X) * Math.pow((1 - X), 3/4)))
f (1.5) = (1 / (Math.sqrt(1.5) * Math.pow((1 - 1.5), 3/4)))
f(1.5) = NaN


f(x) = (1 / (Math.sqrt(X) * Math.pow((1 - X), 3/4)))
f (2.0) = (1 / (Math.sqrt(2.0) * Math.pow((1 - 2.0), 3/4)))
f(2.0) = NaN

0.0, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0, Заполненные значения y = f(xi)
Infinity, 2.378414230005442, Infinity, NaN, NaN, Находим интеграл методом трапеций
I = NaN

Скажите, пожалуйста, что необходимо делать в случаях, когда интеграл перестает быть вещественным (деление на 0, попытка взять корень из отрицательного числа)?
С точки зрения математики имею ли я право игнорировать эти конфликтные узлы?
Или нужно пробовать заморочиться с мнимой единицей, если под знаком корня получается отрицательное число?
Или, что логично, площадь фигуры у меня будет стремиться к бесконечности?

Заранее спасибо за Ваше внимание и советы

[wrest]

DmitriyLutsenko

DmitriyLutsenko в сообщении #1463466 писал(а):

Или, что логично, площадь фигуры у меня будет стремиться к бесконечности?

При $b=1$ интеграл существует (сходится) к конечному значению немного большему 5. А при $b>1$ подынтегральная функция перестает быть вещественной, нет ли ошибки в исходных данных?

-- 17.05.2020, 21:55 --

DmitriyLutsenko в сообщении #1463466 писал(а):

С точки зрения математики имею ли я право игнорировать эти узлы?

Ну на ноль-то делить нельзя, особенно в математике, так что $x=0$ и $x=1$ игнорировать так или иначе придётся (например давая $a=10^{-8};b=1-10^{-8}$ Другое дело, какой будет результат (т.е. должна ли программа как-то посчитать свою погрешность).
Т.е. вам на вход дают функцию, область определения которой меньше чем пределы интегрирования и вам надо выкрутиться как-то.

Ну хорошо, а если бы попросили не проинтегрировать трапециями, а построить эти трапеции от $a$ до $b$ с 4 узлами -- что бы вы делали?

[DmitriyLutsenko]

wrest в сообщении #1463473 писал(а):

DmitriyLutsenko

DmitriyLutsenko в сообщении #1463466 писал(а):

Или, что логично, площадь фигуры у меня будет стремиться к бесконечности?

При $b=1$ интеграл существует (сходится) к конечному значению немного большему 5. А при $b>1$ подынтегральная функция перестает быть вещественной, нет ли ошибки в исходных данных?

Здравствуйте, спасибо большое за ответ.

Вы имеете ввиду, правильно ли дали интеграл с пределами?

$$\int_0^2 \,dx /(x^{0.5} (1 - x)^{3/4}) $$

Или Вы имеете ввиду, что у меня косяк в программе?)
Здесь я не могу точно сказать, в случае с определенной на всем диапазоне функцией площадь фигуры рассчитывается правильно:
Для

$$\int_0^4 x^{2} \,dx $$

. Результат равен $I = 21,(33)$ )
Программно вычислил:

f(x) = X*X
f (0.0) = 0.0*0.0
f(0.0) = 0.0


f(x) = X*X
f (1.0) = 1.0*1.0
f(1.0) = 1.0


f(x) = X*X
f (2.0) = 2.0*2.0
f(2.0) = 4.0


f(x) = X*X
f (3.0) = 3.0*3.0
f(3.0) = 9.0


f(x) = X*X
f (4.0) = 4.0*4.0
f(4.0) = 16.0

0.0, 1.0, 2.0, 3.0, 4.0, Заполненные значения y = f(xi)
0.0, 1.0, 4.0, 9.0, 16.0, 
Находим интеграл методом трапеций
I = 22.0

[Brukvalub]

Метод трапеций для несобственного интеграла с двумя особенностями на участке интегрирования?
Да еще всего 4 узла?
Проще просто сразу написать в ответе $7$.

[DmitriyLutsenko]

Brukvalub в сообщении #1463477 писал(а):

Метод трапеций для несобственного интеграла с двумя особенностями на участке интегрирования?
Да еще всего 4 узла?
Проще просто сразу написать в ответе $7$.

Ну, такое задание
Программу хочется сделать как универсальный метод численного интегрирования. Вводишь любую подынтегральную функцию, количество узлов, пределы интегрирования и получаешь ответ)

Но что делать, если интеграл в определенных точках перестает быть вещественным? как этот момент учитывать в программе? исключать данные точки?=)

[Утундрий]

DmitriyLutsenko в сообщении #1463482 писал(а):

Вводишь любую подынтегральную функцию, количество узлов, пределы интегрирования и получаешь ответ)

Совсем-совсем любую?

[DmitriyLutsenko]

Утундрий в сообщении #1463485 писал(а):

DmitriyLutsenko в сообщении #1463482 писал(а):

Вводишь любую подынтегральную функцию, количество узлов, пределы интегрирования и получаешь ответ)

Совсем-совсем любую?

Да, я воспользовался преобразованием строки в функцию при помощи ScriptEngineManager, для начала пойдет)
Распознает любые, синтаксически верные (с точки зрения JS) функции

[wrest]

DmitriyLutsenko в сообщении #1463475 писал(а):

Или Вы имеете ввиду, что у меня косяк в программе?

Ну тут вам виднее, вы же видите, что все интегралы в заданиях несобственные, а у двух (ваш и задание 4) подынтегральные функции в пределах интегрирования не существуют на целом куске интервала. Вы делите трапециями интервал интегрирования на равные части. А что бы вы делали, если бы интервал интегрирования был от $-\infty$ до $\infty$ как в задании 10 ?

-- 17.05.2020, 22:20 --

DmitriyLutsenko в сообщении #1463482 писал(а):

Программу хочется сделать как универсальный метод численного интегрирования. Вводишь любую подынтегральную функцию, количество узлов, пределы интегрирования и получаешь ответ)

А...
Не, так не выйдет. Вернее, какой-то ответ выдавать конечно можно, но вот будет ли он хотя бы примерно соответствовать значению интеграла, надо разбираться в программе, ведь площадь и впрямь может оказаться того... бесконечной...

[DmitriyLutsenko]

wrest в сообщении #1463489 писал(а):

DmitriyLutsenko в сообщении #1463475 писал(а):

Или Вы имеете ввиду, что у меня косяк в программе?

Ну тут вам виднее, вы же видите, что все интегралы в заданиях несобственные, а у двух (ваш и задание 4) подынтегральные функции в пределах интегрирования не существуют на целом куске интервала. Вы делите трапециями интервал интегрирования на равные части. А чтобы вы делали, если бы интервал интегрирования был от $-\infty$ до $\infty$ как в задании 10 ?

Исследовать на разрывы?
Доказать, что интеграл сходится или расходится?

Если обнаружена такая конфликтная точка, то добавить еще узел, находящийся почти рядом с этой точкой ?

[wrest]

DmitriyLutsenko в сообщении #1463493 писал(а):

Исследовать на разрывы?
Доказать, что интеграл сходится или расходится?

Ну да, типа того.

DmitriyLutsenko в сообщении #1463493 писал(а):

Если обнаружена такая конфликтная точка, то добавить еще узел, находящийся почти рядом с этой точкой ?

Да, и оценить погрешность. Просто посмотрите, что будет выдавать ваша программа если брать $a=0,01;0,001;0,0001$ ну и скажем $b=0,9;0,99;0,999;0,9999$

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
В чем глубокий смысл вставлять в виде скриншотов текстовую информацию, которую можно скопипастить? Поменяйте их на обычный текст, можно (и даже полезно) - в тэге "code".
Заодно уж... в первом сообщении темы есть неправильно набранные неравенства, их неплохо было бы поправить.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Brukvalub]

DmitriyLutsenko в сообщении #1463493 писал(а):

Исследовать на разрывы?
Доказать, что интеграл сходится или расходится?

Если обнаружена такая конфликтная точка, то добавить еще узел, находящийся почти рядом с этой точкой ?

Есть плодотворная идея следовать Ленинским заветам: "Образованным человеком Коммунистом можно стать лишь тогда, когда обогатишь свою память знаниями всех тех богатств, которое выработало человечество"!
Так может, прямо сейчас и начать становиться коммунистом образованным человеком с изучения методов численного интегрирования, оценок его точности и применимости этого метода, читая учебники?
А не гнать отсебятину, изобретая не способный двигаться велосипед с кривыми колесами?

[Утундрий]

DmitriyLutsenko
Советую всё же несколько сузить класс "совсем-совсем любых" функций.

[vpb]

Прежде всего разумно подумать, чисто головой без языков программирования, а имеет ли данный интеграл смысл ? А если имеет, то сходится ли он как несобственный интеграл ? Это вопросы чисто теоретические. Если с ответами на них туманно, то о формуле трапеций думать пока ни к чему. Тем более о том, чтоб написать какую-то универсальную процедуру.