Нарушение однозначного соотвествия

[Doggonzo]

Добрый день!
Помогите, пожалуйста, разобраться.
Поясню суть вопроса на примере:
Пусть даны два множества А и В.
Например - множество А $(a_1,a_2,a_3)$, множество В $(b_1,b_2,b_3)$; зададим соответствие между элементами множеств $ a_1\to b_1, a_2\to b_2, a_3\to b_3$. Таким образом, определено всегда выполнимое и однозначное отображение множества А на множество В.
Теперь зададим связное соотношение порядка на множестве А. Пусть окажется, что $ a_1<a_2, a_1<a_3, a_2=a_3$.
Правильно ли я понимаю, что тогда нарушается изначально заданное однозначное соотвествие из-за равенства $ a_2 $ и $ a_3$, то есть теперь образом элемента $ a_2 $ станет как $ b_2 $, так и $ b_3 $, тоже самое и для $ a_3 $ - его образами будут также $ b_2 $ и $ b_3 $.
Если я прав в нарушении однозначного соответствия, то как это явление можно назвать? Связано ли это с тем, что при задании соотношения порядка мы руководствуемся свойствами различных объектов множества, и суть различные элементы множества при равенстве их свойств уже в дальнейшем могут рассматриваются как один и тот же объект, то есть как тождественные?
Если я не прав - укажите, пожалуйста, в чем я заблуждаюсь.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы/обозначения (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- желательно обойтись без сокращений слов, читаться текст будет лучше.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Anton_Peplov]

Doggonzo в сообщении #1463377 писал(а):

Например - множество А $(a_1,a_2,a_3)$, множество В $(b_1,b_2,b_3)$

Doggonzo в сообщении #1463377 писал(а):

Теперь зададим связное соотношение порядка на множестве $А$. Пусть окажется, что $ a_1<a_2, a_1<a_3, a_2=a_3$.

Если $a_2 = a_3$, то в множестве $A$ два элемента, а не три. И их всегда было два, даже до того, как Вы придумали отношение порядка. И даже если бы Вы его не придумали, их всё равно было бы два.

[Doggonzo]

Anton_Peplov в сообщении #1463396 писал(а):

Doggonzo в сообщении #1463377 писал(а):

Например - множество А $(a_1,a_2,a_3)$, множество В $(b_1,b_2,b_3)$

Doggonzo в сообщении #1463377 писал(а):

Теперь зададим связное соотношение порядка на множестве $А$. Пусть окажется, что $ a_1<a_2, a_1<a_3, a_2=a_3$.

Если $a_2 = a_3$, то в множестве $A$ два элемента, а не три. И их всегда было два, даже до того, как Вы придумали отношение порядка. И даже если бы Вы его не придумали, их всё равно было бы два.

Как же я сейчас рассмеялся над собой. Я запутался и не увидел, что ответ на "поверхности". Большое спасибо!

[Anton_Peplov]

Пожалуйста.

Кстати, множества общепринято обозначать не круглыми скобками, а фигурными: $\{a_1, a_2\}$.

А чтобы ответить на сообщение, не надо цитировать его целиком. Если цитата необходима, выделите мышкой нужный фрагмент и нажмите под сообщением кнопку "Вставка".

[Doggonzo]

Anton_Peplov в сообщении #1463399 писал(а):

А чтобы ответить на сообщение, не надо цитировать его целиком. Если цитата необходима, выделите мышкой нужный фрагмент и нажмите под сообщением кнопку "Вставка".

Спасибо за замечания.

Но касательно моего вопроса. Я сейчас задумался - разве я не могу задать на любом заданном множестве различные соотношения порядка и в каком то случае два элемента окажутся равны, а в другом различны?

[Xaositect]

Нет, отношение равенства уже задано на любом множестве, и от того, что вводятся разные отношения порядка, измениться не может.

[Anton_Peplov]

Doggonzo в сообщении #1463400 писал(а):

Я сейчас задумался - разве я не могу задать на любом заданном множестве различные соотношения порядка и в каком то случае два элемента окажутся равны, а в другом различны?

Не "соотношения порядка", а "отношения порядка". Это термин.

У отношения порядка есть строгое определение. Если Вы его вспомните, то увидите, что оно использует понятие равенства. То есть, чтобы проверить, является ли данное отношение отношением порядка, мы должны уже знать, какие элементы равны, а какие нет.

[gris]

Иногда такие непонятки возникают из-за перепутывания отношений равенства и эквивалентности. Например, на множестве обыкновенных дробей. То есть отношение равенства на фактор-множестве по корректному отношению эквивалентности некорректно переносится на само множество. И возникают надуманные проблемы с антисимметричностью вводимого отношения порядка.

[Doggonzo]

gris в сообщении #1463407 писал(а):

Иногда такие непонятки возникают из-за перепутывания отношений равенства и эквивалентности.

Возможно в этом и моя проблема. Если, например, есть некоторое множество $n$ объектов. То я их воспринимаю как $n$ различных объектов, до того момента пока не введено некоторое отношение равенства. Но ведь равенство зависит от рассматриваемых свойств объектов. В некоторых случаях, например, два объекта равны, в других случаях эти же объекты - нет.

Doggonzo в сообщении #1463377 писал(а):

Если я прав в нарушении однозначного соответствия, то как это явление можно назвать? Связано ли это с тем, что при задании соотношения порядка мы руководствуемся свойствами различных объектов множества, и суть различные элементы множества при равенстве их свойств уже в дальнейшем могут рассматриваются как один и тот же объект, то есть как тождественные?

Я пытался это выразить этим сообщением.

В чем я ошибаюсь? Подскажите пожалуйста.

[gris]

Но вот это я и подозревал. Мы можем вводить на некотором множестве различные отношения эквивалентности. И получать различные фактор-множества. На каждом фактор-множестве действует естественное "диагональное" отношение равенства. И мы внезапно начинаем называть на первоначальном множестве равными просто эквивалентные элементы. И вдруг оказывается, что... Ну надо просто быть повнимательнее и подумать над этим. Попридумывать примеры.

[Xaositect]

Doggonzo в сообщении #1463410 писал(а):

Возможно в этом и моя проблема. Если, например, есть некоторое множество $n$ объектов. То я их воспринимаю как $n$ различных объектов, до того момента пока не введено некоторое отношение равенства. Но ведь равенство зависит от рассматриваемых свойств объектов. В некоторых случаях, например, два объекта равны, в других случаях эти же объекты - нет.

Это формализуется с помощью отношений эквивалентности.
Равенство - это выделенное отношение, оно заранее задано, два объекта равны если это один и тот же объект.

Если мы хотим некоторые свойства объектов объявить неважными и рассматривать какие-то из них как неразличимые ("равные"), то мы вводим на множестве объектов $M$ некоторое отношение эквивалентности $\equiv$. Оно должно обладать свойствами, похожими на свойства равенства: $x \equiv x$, $x \equiv y \Rightarrow y \equiv x$ и $x \equiv y, y \equiv z \Rightarrow x \equiv z$.
Тогда все множество $M$ разбивается на классы эквивалентности - каждому элементу $a \in M$ соответствует класс $[a] = \{ x \in M \mid x \equiv a \}$. И вот уже на этих классах у нас будет честное равенство: $a \equiv b$ тогда и только тогда, когда $[a] = [b]$, то есть классы эквивалентности $[a]$ и $[b]$ представляют собой одно и то же множество.

Например, вектор определяют как класс эквивалентности направленных отрезков, т.е. множество всех сонаправленных направленных отрезков равной длины.

[Doggonzo]

Большое Вам всем спасибо! Я наконец-то понял

[Евгений Машеров]

Мне кажется, Вы смешиваете равенство, как тождественность, и равенство, как совпадение значений некоего критерия. В качестве примера - некий математизированный социолог изучает вопросы семейной жизни, для чего строит множество a женатых мужчин и множество b замужних женщин, устанавливая взаимно-однозначное соответствие между элементами множеств (брак предполагается моногамный, исключительно между мужчиной и женщиной, сведения о брачном статусе истинные и одновременно полученные). Затем на множестве мужчин он устанавливает отношение порядка, например, выстроив по росту. Но если рост двоих мужчин совпадает, не совпадают ни сами они, ни их жёны.