Задача на конденсатор с двумя диэлектриками

[wrest]

(Solaris86, о потенциале)

EUgeneUS в сообщении #1462685 писал(а):

Solaris86 в сообщении #1462681

писал(а):
Я ведь специально взял ситуацию, что зарядов нет. Вообще нигде. Откуда возьмётся ненулевой потенциал?

Поймите одну простую штуку - мы не можем наблюдать потенциал. Можем наблюдать или электрическое поле, или разность потенциалов между двумя точками.

Solaris86
Очень вам советую проникнуться этим вопросом сейчас. Там дальше (в обучении) у вас ещё, вероятно, появится векторный потенциал магнитного поля и на нём может случиться вывих мозга, лучше привыкайте к тому, что потенциал "определен с точностью до константы" сейчас, пока всё ясно и просто.

[Solaris86]

EUgeneUS в сообщении #1462746 писал(а):

4. Не очень понимаю разное количество аргументов в функции. Что это должно обозначать?

можно записать так $\varphi = \varphi(\vec{r})=\varphi(x, y, z)$
Первое равенство означает "потенциал является функцией от точки в пространстве (и больше не от чего)". Второе равенство означает, что точку в пространстве можно определить через декартовы координаты. Тогда "потенциал является функцией от декартовых координат точки в пространстве (и больше не от чего)". Это верно в общем случае в электростатике, но не в электродинамике!

Далее можем записать так: $\varphi = \varphi(\vec{r})=\varphi(x, y, z) = \varphi(x)$.
Последнее равенство означает: так-то потенциал есть функция от всех трех пространственных координат (слева), но в рамках данной задачи он зависит только от координаты $x$ (справа).
Остальные варианты я не понимаю.

Я как раз хотел узнать, как можно обозначить потенциал, если в рамках конкретной задачи он константа или если зависит только от одной переменной.
Вот это то, что я хотел узнать:
Потенциал константа: $\varphi = \varphi(\vec{r})=\varphi(x, y, z)$
Потенциал зависит от одной переменной: $\varphi = \varphi(\vec{r})=\varphi(x, y, z) = \varphi(x)$.
Я задался эти вопросом, когда находил градиент, ибо там в там фигурируют частные производные для трёх переменных, а в задаче либо ноль, либо одна переменная.

EUgeneUS в сообщении #1462746 писал(а):

Да, верен (для рассмотренного случая). Опять же - качественно верен, числа не проверял.

Значит, если мы оставим ту же формулу и введём между пластинами незаряженный проводник вместо диэлектрика, то за счет эквипотенциальности всего объёма проводника, график будет такой (график внутри проводника - прямая, параллельная оси х)?

Получается, что введя незаряженных проводник в конденсатор мы как бы заменили этот конденсатор двумя последовательно соединёнными конденсаторами, так?

-- 14.05.2020, 19:31 --

EUgeneUS в сообщении #1462759 писал(а):

А что за ссылка прицепилась вместе с картинкой?

Видимо, сайт postimages.org иногда вставляет без моего ведома какие-то слова в ссылку.

-- 14.05.2020, 19:34 --

wrest в сообщении #1462762 писал(а):

Очень вам советую проникнуться этим вопросом сейчас. Там дальше (в обучении) у вас ещё, вероятно, появится векторный потенциал магнитного поля и на нём может случиться вывих мозга, лучше привыкайте к тому, что потенциал "определен с точностью до константы" сейчас, пока всё ясно и просто.

Уже проникся.

[kotenok gav]

Solaris86 в сообщении #1462763 писал(а):

Видимо, сайт postimages.org иногда вставляет без моего ведома какие-то слова в ссылку.

Переходите на hostingkartinok.com.

[Solaris86]

И одно из самых проблемных мест, которое я никак не пойму вообще, даже с учётом всех полученных знаний на данный момент.
Фрагмент с образовательного ресурса:

Формулы понятные я пометил зелёной галкой, а непонятную - красной.
Автор пишет, что напряжение между обкладками конденсатора, заполненного диэлектриком с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$
$U = Ed = \frac{\sigma}{\varepsilon_0 \varepsilon}d$
Я уже выводил формулу напряжения на конденсаторе с диэлектриком через потенциал:
$U_{\text{лпк}|\text{ппк}}= E_0d - E'(d-2l)$
Преобразуем:
$U_{\text{лпк}|\text{ппк}}= (E_0 - E')d + E'2l = Ed + E'2l = \frac{E_0}{\varepsilon}d + E'2l = \frac{\sigma}{\varepsilon_0 \varepsilon}d + E'2l$
Вопрос: куда делась часть формулы $E'2l$?!
Или, как обычно при выводе формул, $d \gg l$, поэтому $l \rightarrow 0$ и $E'2l \rightarrow 0$
Отсюда $U_{\text{лпк}|\text{ппк}}= \frac{\sigma}{\varepsilon_0 \varepsilon}d + E'2l \approx \frac{\sigma}{\varepsilon_0 \varepsilon}d$
Так это объясняется?
И всё же, если строго продираться, формула для конденсатора с диэлектриком $U = Ed = \frac{\sigma}{\varepsilon_0 \varepsilon}d$ неверна?
Или же если очень плотно наполнить диэлектриком конденсатор, чтобы не было зазоров, то эта формула будет работать?

[wrest]

Solaris86 в сообщении #1462780 писал(а):

Или, как обычно при выводе формул, $d \gg l$, поэтому $l \rightarrow 0$ и $E'2l \rightarrow 0$

Ну оно даже не стремится а просто равно нулю, если межпластинное пространство полностью заполнено диэлектриком.

-- 14.05.2020, 20:36 --

Solaris86 в сообщении #1462780 писал(а):

Или же если очень плотно наполнить диэлектриком конденсатор, чтобы не было зазоров, то эта формула будет работать?

Ну да, например налить диэлектрик между пластинами...

[Solaris86]

Итак, решение задачи, вариант "б" с учётом полученных знаний.
Условие задачи
Одна часть плоского конденсатора заполнена водой, другая глицерином. Во сколько раз поверхностная плотность связанных зарядов одного диэлектрика больше, чем другого?
Ответ приведите для двух случаев расположения воды и глицерина (рис. 4.3, а и б).

Напряжение между обкладками конденсатора везде одинаковое, так как это эквипотенциальные поверхности.
Тогда напряжение между частями обкладок, содержащих воду:
$U = E_1d = \frac{E_0_1}{\varepsilon_{\text{воды}}}d = \frac{\sigma_1}{\varepsilon_0 \varepsilon_{\text{воды}}}d = \frac{\sigma_1 - \sigma'_\text{воды}}{\varepsilon_0}d$
И напряжение между частями обкладок, содержащих глицерин:
$U = E_2d = \frac{E_0_2}{\varepsilon_{\text{глиц}}}d = \frac{\sigma_2}{\varepsilon_0 \varepsilon_{\text{глиц}}}d = \frac{\sigma_2 - \sigma'_\text{глиц}}{\varepsilon_0}d$
Отсюда:
$\frac{\sigma_1}{\varepsilon_0 \varepsilon_{\text{воды}}}d = \frac{\sigma_2}{\varepsilon_0 \varepsilon_{\text{глиц}}}d$
$\frac{\sigma_1}{\varepsilon_{\text{воды}}} = \frac{\sigma_2}{\varepsilon_{\text{глиц}}}$
$\frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \frac{\varepsilon_{\text{воды}}}{\varepsilon_{\text{глиц}}}$
Далее
$\frac{\sigma_1}{\varepsilon_0 \varepsilon_{\text{воды}}}d = \frac{\sigma_1 - \sigma'_\text{воды}}{\varepsilon_0}d$
$\frac{\sigma_2}{\varepsilon_0 \varepsilon_{\text{глиц}}}d = \frac{\sigma_1 - \sigma'_\text{глиц}}{\varepsilon_0}d$
$\frac{\sigma_1}{\varepsilon_{\text{воды}}} = \sigma_1 - \sigma'_\text{воды}$
$\frac{\sigma_2}{\varepsilon_{\text{воды}}} = \sigma_2 - \sigma'_\text{глиц}$
$\sigma'_\text{воды} = \sigma_1 - \frac{\sigma_1}{\varepsilon_{\text{воды}}} = \sigma_1(1 - \frac{1}{\varepsilon_{\text{воды}}})$
$\sigma'_\text{глиц} = \sigma_2 - \frac{\sigma_2}{\varepsilon_{\text{глиц}}} = \sigma_2(1 - \frac{1}{\varepsilon_{\text{глиц}}})$
$\frac{\sigma'_\text{воды}}{\sigma'_\text{глиц}} = \frac{\sigma_1(1 - \frac{1}{\varepsilon_{\text{воды}}})}{\sigma_2(1 - \frac{1}{\varepsilon_{\text{глиц}}})} = \frac{\varepsilon_{\text{воды}}(1 - \frac{1}{\varepsilon_{\text{воды}}})}{\varepsilon_{\text{глиц}}(1 - \frac{1}{\varepsilon_{\text{глиц}}})} = \frac{\varepsilon_{\text{воды}}-1}{\varepsilon_{\text{глиц}}-1}$
$\varepsilon_{\text{воды}} = 81$
$\varepsilon_{\text{глиц}} = 43$
$\frac{\sigma'_\text{воды}}{\sigma'_\text{глиц}} = \frac{81-1}{43-1} = 1.9$

Вопросы:
1. Верно ли решена задача?
2. В случае расположения диэлектриков вариант "б" поверхностная плотность зарядов на пластина меняется и становится на каждом участке пластин пропорциональной диэлектрической проницаемости соответствующего диэлектрика? Соответственно, напряжённость поля, создаваемая различными участками пластин различна, но вот результирующая напряжённость поля в диэлектриках везде одинаковая. Верно?
3. Такую задачу можно решить с заменой одного конденсатора несколькими:
1) вариант "а" - последовательно соединённые конденсаторы (мы как бы вносим между диэлектриками незаряженную пластину проводника, на которой наводятся заряды и таким образом получаем два последовательных конденсатора);
2) вариант "б" - параллельно соединённые конденсаторы. Верно?

[wrest]

Solaris86 в сообщении #1462805 писал(а):

3. Такую задачу можно решить с заменой одного конденсатора несколькими:
1) вариант "а" - последовательно соединённые конденсаторы (мы как бы вносим между диэлектриками незаряженную пластину проводника, на которой наводятся заряды и таким образом получаем два последовательных конденсатора);
2) вариант "б" - параллельно соединённые конденсаторы. Верно?

Да.

-- 15.05.2020, 12:03 --

Solaris86 в сообщении #1462805 писал(а):

Соответственно, напряжённость поля, создаваемая различными участками пластин различна, но вот результирующая напряжённость поля в диэлектриках везде одинаковая. Верно?

В каждом диэлектрике - своя напряженноть. Получается два однородных поля, одно в глицерине и второе в воде.
Это просто следует из $E=\dfrac{E_0}{\varepsilon}$