Функция распределения произведения случайных величин

[pandemodeus]

Добрый день.
Столкнулся с такой задачей: Случайная величина $\xi$ принимает только значения 0 или 1 с равной вероятностью. Случайная величина $\eta$ имеет функцию распределения:

$$\begin{cases} 0,&\text{если $x\leqslant0$;}\\ x,&\text{если $0<x<1$;}\\ 1,&\text{если $x\geqslant1$.} \end{cases}$$

Случайные величины независимы. Найти функцию распределения $F_{\xi\eta}(x)$
Мысли такие. По определению функции распределения $F_{\xi\eta}(x)=P(\xi\eta\leqslant x)$. Далее распишем это событие по формуле полной вероятности.$P(\xi\eta\leqslant x)=P(\xi\eta\leqslant x|\xi=0)P(\xi=0)+$ $P(\xi\eta\leqslant x|\xi=1)P(\xi=1)$ $=\frac{1}{2}(P(0\leqslant x)+P(\eta\leqslant x))$. У меня вопрос, который меня почему-то поставил в тупик: чему равна вероятность $P(0\leqslant x)$? Насколько я понимаю, это множество несчетно, оно не входит в сигма алгебру, и значит, для него не существует вероятности? Тогда я что-то делаю не так?

[Slav-27]

pandemodeus в сообщении #1462401 писал(а):

множество несчетно

Да.

pandemodeus в сообщении #1462401 писал(а):

оно не входит в сигма алгебру

В какую $\sigma$-алгебру? Есть борелевская $\sigma$-алгебра на $\mathbb R$, и есть $\sigma$-алгебра подмножеств вероятностного пространства, на которой определена вероятностная мера. В первую оно входит. Про вторую совершенно ничего не известно -- даже про вероятностное пространство в условии ничего не говорится, в частности, оно совершенно не обязательно является подмножеством $\mathbb R$.

Что касается собственно вашего вопроса: какова вероятность, что $x\in (-\infty,0)$? Какова вероятность, что $x\in (-\infty, \infty)$?

[pandemodeus]

Slav-27 в сообщении #1462428 писал(а):

Что касается собственно вашего вопроса: какова вероятность, что $x\in (-\infty,0)$? Какова вероятность, что $x\in (-\infty, \infty)$?

1/2 и 1?

[Someone]

Удалено, потому что неправильно проинтерпретировал вопрос.

[Slav-27]

Не угадали. Не угадывайте.

Вам надо понять, что такое 1) вероятностное пространство, 2) случайная величина, 3) функция распределения. Если не получается, можете для начала написать сюда определения, дальше вам помогут.

[Otta]

pandemodeus в сообщении #1462401 писал(а):

чему равна вероятность $P(0\leqslant x)$?

Тут нет случайных величин. Неравенство в скобках детерминировано. Либо это так, либо это не так. И о вероятности нет смысла говорить.
Зато есть смысл начинать (и продолжать) рассуждения иначе: для таких-то $x$ тут получится то-то. А для таких - что-то другое. $x$ ведь фиксированная переменная, но в зависимости от ее значения вероятность будет считаться по-разному.

Давайте сначала начнем. Какие вообще значения может принимать $\xi\eta$? В каком диапазоне хотя бы?

[Slav-27]

Otta в сообщении #1462442 писал(а):

Тут нет случайных величин. Неравенство в скобках детерминировано.

Да. pandemodeus, прошу прощения, мы говорили с вами про $x$, а я думал, что мы говорим про $\xi$.

Но моя рекомендация остаётся прежней.

[pandemodeus]

Slav-27 в сообщении #1462439 писал(а):

Не угадали. Не угадывайте.

Вам надо понять, что такое 1) вероятностное пространство, 2) случайная величина, 3) функция распределения. Если не получается, можете для начала написать сюда определения, дальше вам помогут.

Думал, я понимаю. Оказывается, нет.
1) Вероятностное пространство - это тройка $(\Omega,F,P)$, где $\Omega$ - это множество элементарных исходов, F - $\delta$-алгебра событий, а P - заданная на F вероятность (функция, ставящая в соответствие каждому событию число из отрезка [0,1]
2) Случайная величина - это функция, заданная на $\Omega$, отождествляющая каждое событие с вещественным числом.
3) Функция распределения - это отображение $\mathbb{R}\to [0,1]$, которая равна веротяности $P(\xi\leqslant x)$.
Я намеренно написал не строгие определения, а то, как я их ощущаю, поправьте, пожалуйста, если я где-то ошибся, или что-то важное не учитываю.

[Someone]

pandemodeus в сообщении #1462447 писал(а):

F - $\delta$-алгебра событий

Не $\delta$-алгебра, а $\sigma$-алгебра.

-- Ср май 13, 2020 22:49:32 --

pandemodeus в сообщении #1462447 писал(а):

$P(\xi\leqslant x)$

Обычно $P(\xi<x)$, но так тоже можно.

[pandemodeus]

Otta в сообщении #1462442 писал(а):

Давайте сначала начнем. Какие вообще значения может принимать $\xi\eta$? В каком диапазоне хотя бы?

Я думаю, что случайная величина $\xi\eta$ не может принимать значения, меньшие 0, поэтому $P(\xi\eta\leqslant x)=0, \forall x<0$. Аналогично, она не примет значений, больших 1. Поэтому она принимает значения из отрезка [0,1]. Это так?

-- 13.05.2020, 22:54 --

Someone в сообщении #1462451 писал(а):

Не $\delta$-алгебра, а $\sigma$-алгебра.

Да, спасибо.

Someone в сообщении #1462451 писал(а):

Обычно $P(\xi<x)$, но так тоже можно.

Это я знаю, по сути ведь одно и то же. Только непрерывность с разных сторон будет.

[Otta]

Правильно. Итого: При $x<0$ Вы функцию распределения уже посчитали. Вы можете сразу, никаких вычислений не предпринимая, сказать, чему она равна при $x>1$ (чему?)
В итоге, рассуждение сводится к такому: возьмем $x\in [0,1]$. Тогда... и продолжайте теперь развивать выкладки из первого поста, не забывая это самое волшебное "возьмем". То есть $x$ - конкретное уже выбранное число из указанного диапазона.

[pandemodeus]

Otta в сообщении #1462459 писал(а):

Правильно. Итого: При $x<0$ Вы функцию распределения уже посчитали. Вы можете сразу, никаких вычислений не предпринимая, сказать, чему она равна при $x>1$ (чему?)
В итоге, рассуждение сводится к такому: возьмем $x\in [0,1]$. Тогда... и продолжайте теперь развивать выкладки из первого поста, не забывая это самое волшебное "возьмем". То есть $x$ - конкретное уже выбранное число из указанного диапазона.

Спасибо, я, кажется, понял. Для $x\geqslant 1 F_{\xi\eta}(x)=1$. Тогда рассмотрим полуинтервал (0,1]. На нем также справедливо соотношение $F_{\xi\eta}=\frac{1}{2}(P(0\leqslant x) + F{\eta}(x))$. Для рассматриваемого промежутка $P(0\leqslant x)=1$, а $F{\eta}(x) = x$. Значит, искомый вид функции на промежутке будет $\frac{1}{2}+\frac{x}{2}$.
Спасибо огромное!

[Someone]

pandemodeus в сообщении #1462465 писал(а):

$F_{\xi\eta}=\frac{1}{2}(P(0\leqslant x) + F{\eta}(x))$. Для рассматриваемого промежутка $P(0\leqslant x)=1$

Вам уже два человека намекали, что выражение $P(0\leqslant x)$ бессмысленно, потому что в нём нет случайной величины и, следовательно, вероятность не определена. Постарайтесь обойтись без этого.

[--mS--]

Someone в сообщении #1462467 писал(а):

Вам уже два человека намекали, что выражение $P(0\leqslant x)$ бессмысленно, потому что в нём нет случайной величины и, следовательно, вероятность не определена. Постарайтесь обойтись без этого.

А можно мне быть первым человеком, который скажет, что это выражение совершенно осмысленно, и случайная величина, тождественно равная нулю, тут есть (хотя её наличие и совершенно необязательно). И вероятность от события $\{\omega\in\Omega: 0\leqslant 7\}=\Omega$ вполне себе определена, точно так же как и вероятность события $\{\omega\in\Omega: 0\leqslant -7\}=\varnothing$. И представление функции распределения $\xi\eta$ как линейной комбинации функции распределения вырожденного в нуле распределения и равномерного отражает суть дела: результирующее распределение смешанное.

[Otta]

--mS--
А вот мы Вас и ждали :)

(Оффтоп)

--mS-- в сообщении #1462556 писал(а):

А можно мне быть первым человеком,

Конечно ) Вам можно все. Я было даже проболталась выше, но понадеялась, что никто не заметит. Может, кто и заметил, но никто не сказал.
У ТС была другая проблема, как мне показалось по его тексту. У него $x$ - свободная переменная. Так что она и решалась.
Считать вероятность, левее нуля икс или правее, как-то некошерно.