Очень много столкновений

[profilescit]

Предлагается к рассмотрению система $n$ точечных частиц. Они расположены в ряд так что первая частица имеет массу $m_1 = q m = \alpha^n m$ и далее $m_2 = \alpha^{n-1} m$ $m_3 = \alpha^{n-2} m$ до последней частицы $m_{n} = \alpha m$. Учитывать что $q > 1$

У первой частицы есть начальная скорость $v_0$ В следствии абсолютно упругих ударов, оценивается эффективность энергетической передачи которая показывается какую часть из энергии первой частицы будет иметь последняя частица.

$(a)$Найти скорость последней частицы, выразив ее через $v_0$ и $q$
$(b)$Если $n \to \infty $ то доказать что энергия полностью передается от первой частицы к последней
$(c)$Так как $q > 1$ то мы приходим к парадоксу: в следствии столкновений у последней частицы такая же энергия что и у первой, однако импульс разный. Куда делся остальной импульс? Доказать утверждение математически.

$(a)$

Запишем закон сохранения импульса и энергии для первого удара
$\left\{ \begin{array}{rcl} \alpha^n m v_0&= \alpha^{n-1} m v_1 + \alpha^n m v_1'& \\ \alpha^n m v_0^2&= \alpha^{n-1} m v_1^2 + \alpha^n m v_1'^2& \\ \end{array} \right.$ откуда находим что скорость второй частицы $v_1 = 2 v_0 \frac{\alpha}{\alpha + 1}$

Проделывая аналогичные действия для всех частиц, получим выражение для скорость последней частицы $v = 2^n v_0 (\frac{\alpha}{\alpha + 1})^n$

Вопрос, может и глупый, однако не пойму, как выразить ответ только через $q, v_0$ не используя $n$?

$(b)$

Энергия последней частицы будет $(\frac{2 \alpha }{\alpha + 1})^{2n} \frac{m v_0^2}{2}$ а энергия начальной частицы была $\frac{\alpha^n m v_0^2}{2}$
Однако, что-то я равенства не могу получить... Соответственно и на последний пункт задачи не могу ответить.

Прошу помочь понять где ошибся

[EUgeneUS]

profilescit в сообщении #1462339 писал(а):

Вопрос, может и глупый, однако не пойму, как выразить ответ только через $q, v_0$ не используя $n$?

Пусть $q > 1$ зафиксировано,
тогда (при больших $n$) $\alpha = \sqrt[n]{q}$ будет мало отличаться от единицы,
тогда можно записать $$\alpha = 1 + \beta, \beta \ll 1$

Далее пользуемся волшебным приближением $(1 + \varepsilon)^n \approx 1 + n \varepsilon$, при $\varepsilon \ll 1$

$(\frac {2 \alpha}{\alpha +1})^n = \frac {2^n q}{(\beta +2)^n} = \frac {2^n q}{(\beta /2 +1)^n 2^n} \approx \frac {q}{(\beta +1)^{n/2}} = \frac {q}{q^{n/2}} = \sqrt{q}$

[profilescit]

EUgeneUS, спасибо. Оказывается, я даже правильно решил

Тогда остается думать над ответом последнего пункта...

[EUgeneUS]

profilescit в сообщении #1462349 писал(а):

Тогда остается думать над ответом последнего пункта...

Думайте. Вопрос очень интересный. У меня есть два ответа на него, и оба правильные

[wrest]

profilescit в сообщении #1462339 писал(а):

то мы приходим к парадоксу: в следствии столкновений у последней частицы такая же энергия что и у первой,

Опять подвох какой-то. Хорошие задачки у вас.
Если без приближений и $n$ конечно, то так не выйдет (первая масса при $\lim \limits_{n \to \infty} q^nm=\infty$ должна быть бесконечной при $q>1$ и $m>0$, как и вторая, и третья...).

Если же частиц бесконечное количество (например стоят как-то по кругу, хотя бы по экватору идеальной Земли) то они все одинаковой массы ($q=1$), а значит "на выходе" сохранится и скорость и импульс.

[profilescit]

wrest, вы наверное перепутали $q$ и $\alpha$. Согласно задачи $q = \alpha^n$

[wrest]

profilescit в сообщении #1462366 писал(а):

вы наверное перепутали $q$ и $\alpha$. Согласно задачи $q = \alpha^n$

Если известно что $1 \le \lim \limits_{n\to \infty} \alpha^n=q<\infty$ то это может быть только если $\alpha=q=1$

[profilescit]

EUgeneUS, вот что надумал. Если число частиц бесконечно, мы переходим из дискретной модели в непрерывную (если можно так выразиться). Рассматриваемые удары можно считать волной которая распространяется в неоднородной среде (с переменной плотностью). Движение происходит от более плотной среды к менее плотной. Это объясняет факт полной передачи энергии, пока что не пойму куда девается импульс.

wrest Согласен, вот только в задаче знак строго больше единицы.

[EUgeneUS]

wrest в сообщении #1462375 писал(а):

Если известно что $1 \le \lim \limits_{n\to \infty} \alpha^n=q<\infty$ то это может быть только если $\alpha=q=1$

Там не совсем так.
Задано, отношение масс первого и последнего шарика - $\frac{m_{1}}{m_n}=q > 1$.
Соседние шарики отличаются в одинаковое количество раз $\frac{m_{i}}{m_{i+1}} = \alpha = \sqrt[n]{q}$
А вот количество шариков $n$ - параметр, и рассматривается предел $n \to \infty$

-- 13.05.2020, 21:32 --

profilescit в сообщении #1462379 писал(а):

вот что надумал. Если число частиц бесконечно, мы переходим из дискретной модели в непрерывную (если можно так выразиться).

Если число частиц бесконечно, то (при соблюдении условий задачи) какая будет их суммарная масса?

[wrest]

EUgeneUS в сообщении #1462384 писал(а):

Соседние шарики отличаются в одинаковое количество раз $\frac{m_{i}}{m_{i+1}} = \alpha = \sqrt[n]{q}$
А вот количество шариков $n$ - параметр, и рассматривается предел $n \to \infty$

Ну я ж и говорю что $\forall q>1, \lim \limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{q}=1$

[EUgeneUS]

wrest в сообщении #1462405 писал(а):

Ну я ж и говорю что $\forall q>1, \lim \limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{q}=1$

Но это не тоже самое, что:

wrest в сообщении #1462375 писал(а):

Если известно что $1 \le \lim \limits_{n\to \infty} \alpha^n=q<\infty$ то это может быть только если $\alpha=q=1$

[profilescit]

EUgeneUS писал(а):

Если число частиц бесконечно, то (при соблюдении условий задачи) какая будет их суммарная масса?

Ну, получается $M = m \frac{\alpha}{1-\alpha}$

[EUgeneUS]

profilescit
не забывайте, что $\alpha$ зависит от $n$.
И какой получится предел при $n \to \infty$?

[profilescit]

EUgeneUS в сообщении #1462449 писал(а):

profilescit
не забывайте, что $\alpha$ зависит от $n$.
И какой получится предел при $n \to \infty$?

$\alpha = q^{1/n} = 1 + \beta , \beta \ll 1 $
$\frac{\alpha}{1-\alpha} = \frac{1}{q^{-\frac{1}{n}} - 1} = \frac{q^{1/n}}{1-q^{1/n}}$
Разве у этой функции есть предел?

[EUgeneUS]

profilescit в сообщении #1462493 писал(а):

Разве у этой функции есть предел?

А почему у Вас возникли сомнения?