Вот я и хочу понять на каком-либо конкретном примере как "состояние фотона" записать на бра-кет-алгебрном языке. Как выглядит кет-вектор, когда он расписан полностью, а не просто своим алгебраическим значком, например,
. т.е. связь между кет-записью и физической реалией.
Фактически вы говорите о физической интерпретации вектора состояния. Физическая интерпретация математического объекта -- это связь между этим объектом и измерениями. Вот последнее и нужно установить. Для этого достаточно дать физическую интерпретацию некого полного набора, базиса в пространстве векторов состояний, установить связь
этих векторов с измерениями. Но сначала давайте немного уточним, что лучше взять массивную частицу, а не фотон (как у Дирака). Фотон всегда релятивисткий, лучше начать с нерелятивисткой теории. Таким образом, нам нужен набор состояний такой, чтобы любой вектор можно было представить в виде линейной комбинации векторов из этого набора. Замечательный факт заключается в том, что бывают такие состояния, когда измерение некой динамической величины, например импульса, всегда дает вполне определенное значение. Такие состояния называются собственными состояниями этой величины. Например может быть набор состояний с определенным импульсом (сколько разных импульсов, столько и базисных векторов -- континуум). Этот набор можно взять в качестве базиса с ясной физической интерпретацией, и все остальные векторы состояния представлять в виде разложения по этому базису. Квадраты модуля коэффициентов разложения это вероятность (или плотность вероятности, если разложение континуальное) того, что измерение даст именно это значение. Можно взять другой базис, например базис состояний с определенными координатами (для массивной частицы можно, а вот для фотона нельзя!). И разлогать по этим состояниям. И т.д. Отметим, что все такие наборы являются полными. Это физическое условие, вытекающее из того, что при измерении прибор всегда хоть что-нибудь да покажет. Так же
чисто физическое требование заключается в том, что разные собственные векторы являются линейно независимыми. Действтительно, иначе измерение при собственном состоянии давало бы раз от раза разные результаты, что противоречит определению собственного состояния. После всего этого можно постороить
оператор физической величины. Например, оператор импульса:
Тогда очевидно, что
Т.е. оказывается, что собственные состояния (например импульса) являются собственными состояниями оператора импульса. Именно так: это есть следствие
физических требований, а не какой-то там постулат.
Здесь подразумевается нормировка базисных векторов такая, что
где
-- единичный (тождественный) оператор.