Линейная плотность заряда

[Solaris86]

Фрагмент из учебника Савельева том 2

Для тонкой нити понятие линейной плотности заряда $\lambda$ мне понятно, а вот для цилиндра нет. Для цилиндра понятна поверхностная плотность заряда $\sigma$.
Я понимаю, что поле бесконечно длинного равномерно заряженного цилиндра эквивалентно полю бесконечно длинной равномерно заряженной тонкой нити, помещённой внутрь цилиндра и проходящей через центры его оснований.
Откуда Савельев берёт формулу $\lambda = 2 \pi R \sigma$, мне тем более не ясно (что нам тут даёт эта длина окружности $2 \pi R$?)
Помогите разобраться.

[arseniiv]

Не забывайте, что физика не математика. Вот у нас есть этот бесконечный или просто очень длинный по сравнению со своим радиусом цилиндр. Мы от него отходим подальше, отходим, отходим… а приборы у нас не самые идеальные, и с их помощью мы уже не можем отличить цилиндр от нити. Какая будет у такой нити линейная плотность заряда? Это можно понять: мы перестаём отличать кольца на цилиндре от отрезков нити, а именно не можем отличить кольца с зарядом $2\pi R\sigma\, d\ell$ от отрезка с зарядом $\lambda\, d\ell$. Осталось приравнять.

[Solaris86]

Есть версия, что $\lambda$ в данном случае отражает плотность заряда по линии, являющейся длиной окружности в сечении.
Но вывод формулы $\lambda = 2 \pi R \sigma$ от этого понятен не становится.

[realeugene]

Solaris86 в сообщении #1461261 писал(а):

Для тонкой нити понятие линейной плотности заряда $\lambda$ мне понятно, а вот для цилиндра нет.

Это просто определение этого понятия в данном параграве данного учебника. $q=\lambda h$

Solaris86 в сообщении #1461261 писал(а):

Откуда Савельев берёт формулу $\lambda = 2 \pi R \sigma$,

Из равенства функций $q(h)$

[Solaris86]

realeugene в сообщении #1461266 писал(а):

Solaris86 в сообщении #1461261 писал(а):

Для тонкой нити понятие линейной плотности заряда $\lambda$ мне понятно, а вот для цилиндра нет.

Это просто определение этого понятия в данном параграве данного учебника. $q=\lambda h$

Solaris86 в сообщении #1461261 писал(а):

Откуда Савельев берёт формулу $\lambda = 2 \pi R \sigma$,

Из равенства функций $q(h)$

Так, получается, что заряд на боковой стенке цилиндра можно выразить двумя способами:
1. Через поверхностную плотность заряда$\sigma$:
$q(h) = \sigma S_\text{бок.} = \sigma 2 \pi Rh$
2. Через линейную плотность заряда $\lambda$ (плотность заряда по линии, являющейся окружностью поперечного сечения цилиндра)
$q(h) = \lambda h$
Отсюда $\lambda = \sigma 2\pi R$.
В таком случае возникает вопрос, откуда взялась формула $q(h) = \lambda h$?
Если это линия окружности в сечении, то таких линий поместится бесконечно много в отрезок $h$, так как толщина линии 0...
Тогда должно быть $q(h) = \lambda \cdot \infty$... В общем, тут тоже затык...
Если линейной плотностью заряда $\lambda$ понимать плотность вдоль линии на боковой стенке, тогда произведение $\lambda h$ приобретает иной смысл - это количество заряда на на одной линии боковой стенки... А таких линий на боковой стенке помещается бесконечно много, поэтому заряд боковой стенки получается $\lambda h \cdot \infty$, что тоже бред какой-то.

Вот меня это и возмущает, зачем так писать учебник и упускать некоторые поясняющие моменты, чтобы каждый непонятный момент я разбирал часами, а то и днями, при этом дальнейшее чтение останавливается, в итоге и скорость чтения книги получается пара страниц в день...

[realeugene]

Solaris86 в сообщении #1461268 писал(а):

плотность заряда по линии

Не плотность заряда по линии, а коэффициент пропорциональности заряда, пропорционального линейной длине участка цилиндра. Линейная плотность верёвки означает аналогичное, масса, приходящаяся на единицу длины верёвки, а не вдоль какой-то абстрактной линии.

-- 09.05.2020, 00:09 --

Solaris86 в сообщении #1461268 писал(а):

Вот меня это и возмущает

Бывшие школьники, вроде бы, справляются с чтением этого очень простого учебника. Видимо, вы забыли базовые навыки.

[Solaris86]

realeugene в сообщении #1461271 писал(а):

Не плотность заряда по линии, а коэффициент пропорциональности заряда, пропорционального линейной длине участка цилиндра. Линейная плотность верёвки означает аналогичное, масса, приходящаяся на единицу длины верёвки, а не вдоль какой-то абстрактной линии.

Значит, я не понимаю, что такое линейная плотность заряда...
Поясните на примере. Пусть у меня есть равномерно заряженная плоскость бесконечной площади c поверхностной плотностью заряда $\sigma = 2 \frac{\text{Кл}}{\text{м}^2}$
Я выделил прямоугольный участок 4 на 6 м.
$S = 4\cdot6 = 24 \text {м}^2$
Заряд на этой площадке:
$q = 2 \cdot 24 = 48 \text{Кл}$.
Вопросы:
1) чему равна линейная плотность заряда $\lambda$?
Мой вариант: $\lambda = 2\frac{\text{Кл}}{\text{м}}$
2) одинакова ли эта линейная плотность по всем направлениям?
Мой вариант: да.

[realeugene]

Solaris86 в сообщении #1461279 писал(а):

1) чему равна линейная плотность заряда $\lambda$?
2) одинакова ли эта линейная плотность по всем направлениям?

В одном направлении $12 \frac{\text{Кл}}{\text{м}}$, в другом - $8 \frac{\text{Кл}}{\text{м}}$. Но понятие линейной плотности всё же обычно используется для протяженных в одном направлении предметов, вроде верёвки или длинного цилиндра. Так что, и вопросов не возникает по поводу направления.

[Solaris86]

realeugene в сообщении #1461285 писал(а):

В одном направлении $12 \frac{\text{Кл}}{\text{м}}$, в другом - $8 \frac{\text{Кл}}{\text{м}}$. Но понятие линейной плотности всё же обычно используется для протяженных в одном направлении предметов, вроде верёвки или длинного цилиндра. Так что, и вопросов не возникает по поводу направления.

Вот это поворот, всё неверно у меня...
Пробую исправиться.
Рассуждаю так:
1. Мысленно нарежу площадку поперёк длины на 6 прямоугольников типа А размерами $1 \text{м}$ на $4 \text{м}$, площадь каждого прямоугольника типа А $S = 4 \text{м}^2$, при этом на 1 метр длины площадки приходится заряд 1 такого прямоугольника типа А: $q = 2 \cdot 4 = 8 \text{Кл}$, то есть $\lambda = 8 \frac{\text{Кл}}{\text{м}}$.
2. Мысленно нарежу площадку поперёк ширины на 4 прямоугольника типа B размерами $1 \text{м}$ на $6 \text{м}$, площадь каждого прямоугольника типа B $S = 6 \text{м}^2$, при этом на 1 метр ширины площадки приходится заряд 1 такого прямоугольника типа B: $q = 2 \cdot 6 = 12 \text{Кл}$, то есть $\lambda = 12 \frac{\text{Кл}}{\text{м}}$.
Вы примерно так рассуждали?
Очередные 2 вопроса:
1. Тогда такую линейную плотность заряда по направлению длинной стороны можно назвать погонной (для линейной плотности - погонная масса, для ёмкости - погонная ёмкость, для индуктивности - погонная индуктивность и т.п.)? Имею в виду, что какая-то величина приходится на метр длины (погонный метр).
2. Как найти линейную плотность заряда по направлению диагонали такой площадки?

[realeugene]

Solaris86 в сообщении #1461290 писал(а):

Тогда такую линейную плотность заряда ... можно назвать погонной

Да, но этот термин устаревший.

Solaris86 в сообщении #1461290 писал(а):

2. Как найти линейную плотность заряда по направлению диагонали такой площадки?

Никак. Термин бесполезен, так как заряд не пропорционален длине.

[Solaris86]

Спасибо за разъяснения!

-- 09.05.2020, 02:35 --

Чтобы не создавать новую тему, спрошу тут: почему напряженность поля между равномерно и разноимённо заряженными плоскостями удваивается по сравнению с напряженностью каждой плоскости, а между равномерно и разноимённо заряженными коаксиальными полыми цилиндрами не удваивается?
Рис. 19 на картинке выше
Напряженность поля между обкладками плоский конденсатора: $E = E_{+} + E_{-} = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} + \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$
Разве напряжённость поля между обкладками коаксиального цилиндрического конденсатора не должна вычисляться аналогично: $E = E_{+} + E_{-} = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r} + \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r} = \frac{\lambda}{\pi \varepsilon_0 r}$?
Почему же всё-таки она вычисляется как $E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r}$?

-- 09.05.2020, 02:59 --

Или заряды отрицательно заряженного внешнего цилиндра не вносят вклад в напряженность между обкладками, так как они не заключены в рассматриваемую нами замкнутую поверхность?

[EUgeneUS]

Solaris86
Для бесконечного равномерно заряженного цилиндра конечного радиуса можно решить задачу используя только поверхностную плотность заряда $\sigma$.
А уже потом, в (промежуточном) ответе найти агрегат $2 \pi R \sigma$, обозначить его $\lambda$ и понять, что этот агрегат имеет смысл линейной ("погонной") плотности заряда - величина заряда на единицу длины цилиндра.
Если Вам так будет понятнее.

Solaris86 в сообщении #1461299 писал(а):

почему напряженность поля между равномерно и разноимённо заряженными плоскостями удваивается по сравнению с напряженностью каждой плоскости, а между равномерно и разноимённо заряженными коаксиальными полыми цилиндрами не удваивается?

Solaris86 в сообщении #1461299 писал(а):

Разве напряжённость поля между обкладками коаксиального цилиндрического конденсатора не должна вычисляться аналогично: $E = E_{+} + E_{-} = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r} + \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r} = \frac{\lambda}{\pi \varepsilon_0 r}$?

Первое равенство верное. Второе - нет. Равномерно заряженный бесконечный цилиндр не создает поле внутри себя. Как и равномерно заряженная сфера. Поэтому одно из слагаемых ноль в случае коаксиального и сферического конденсаторов.
Кстати, об этом явно написано у Савельева в том отрывке, который Вы привели.

[Solaris86]

На первом графике красным цветом изображён график поля положительно заряженной обкладки, на втором графике фиолетовым цветом изображён график поля отрицательно заряженной обкладки, на третьем графике зелёным цветом изображён график результирующего поля (как сложение первых двух графиков).
Касательно коаксиальный цилиндров: если я правильно понимаю, то графики для его обкладок по форме абсолютно одинаковые с той лишь разницей, что межу обкладками отсутствует часть графика отрицательно заряженной обкладки из-та того, что там напряжённость поля этой обкладки равна 0, поэтому результирующее поле состоит только из поля положительно заряженной обкладки. А снаружи отрицательно заряженной обкладки за счёт одинаковости графиков они при сложении они дают результирующее поле 0.
Так?

[DimaM]

Solaris86 в сообщении #1461347 писал(а):

Касательно коаксиальный цилиндров: если я правильно понимаю, то графики для его обкладок по форме абсолютно одинаковые с той лишь разницей, что межу обкладками отсутствует часть графика отрицательно заряженной обкладки из-та того, что там напряжённость поля этой обкладки равна 0, поэтому результирующее поле состоит только из поля положительно заряженной обкладки. А снаружи отрицательно заряженной обкладки за счёт одинаковости графиков они при сложении они дают результирующее поле 0.

Все верно.

[EUgeneUS]

Solaris86
Так-то все верно, но не нужно забывать, что напряженность поля - вектор, и складываются напряженности по правилу суперпозиции как векторы.
Поэтому
а) Нужны какие-то слова про то, что обе обкладки создают в каждой точке коллинеарные напряженности.
б) У Вас не графики напряженности, а графики проекций напряженности на некие (вполне определенные) оси.

Это всё на вывод не влияет в данном случае, но в голове держать полезно.