Повторный интеграл

[RIP]

(Оффтоп)

SomePupil в сообщении #1460844 писал(а):

Вот: $\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{x}dx = +\infty$

Вообще-то, это неверно. Интеграл (в смысле интеграла Лебега на $(0,+\infty)$) не имеет никакого значения: ни конечного, ни бесконечного. (Поскольку и положительная, и отрицательная части имеют интеграл $+\infty$.)

[pogulyat_vyshel]

(Оффтоп)

mihaild в сообщении #1460841 писал(а):

У интеграла Лебега все те же развлечения сохраняются.

простите, это просто ерунда

[mihaild]

(Оффтоп)

pogulyat_vyshel в сообщении #1460904 писал(а):

простите, это просто ерунда

Не прощу. Сведение кратного интеграла к повторным требует существования повторных и в случае Лебега, и в случае Римана. Понятно что в случае Лебега это требование слабее, но принцип тот же самый. Или вы непосредственно про определение кратного интеграла Римана?

[pogulyat_vyshel]

mihaild в сообщении #1460912 писал(а):

Сведение кратного интеграла к повторным требует существования повторных и в случае Лебега,

а зачем вообще переходить к повторному интегралу? Если мы решем вопрос об интегрируемости данной функции по Лебегу, то ее достаточно просто сравнить с $r^\lambda$

-- 07.05.2020, 17:12 --

И исчерпаний не надо про которые говорил Brukvalub

[mihaild]

pogulyat_vyshel в сообщении #1460915 писал(а):

Если мы решем вопрос об интегрируемости данной функции по Лебегу, то ее достаточно просто сравнить с $r^\lambda$

И по Риману тоже. Вообще, пока у нас область интегрирования хорошая, а точек разрыва мало, разницу между интегралами Римана и Лебега увидеть сложно.

pogulyat_vyshel в сообщении #1460915 писал(а):

И исчерпаний не надо про которые говорил Brukvalub

Это, видимо, про то, что переход к повторному эквивалентен взятию конкретного исчерпания - т.е. ответ, почему повторный интеграл существует, а кратный - нет. Какой вопрос собственно и был задан.

[Padawan]

Конечно, исчерпания в свете теории Лебега - костыль. Есть же теорема, что кратный интеграла Римана сходится тогда и только тогда, когда он абсолютно сходится.

Кстати, определение кратного интеграла Римана вписывается в схему предела по базе. Надо посмотреть, есть ли в Зориче про это.

[Brukvalub]

Padawan в сообщении #1460948 писал(а):

Кстати, определение кратного интеграла Римана вписывается в схему предела по базе.

Речь идет про несобственный кратный интеграл?

[Padawan]

Brukvalub в сообщении #1460952 писал(а):

Речь идет про несобственный кратный интеграл?

Да, конечно, извините, что не уточнил. О нем ведь тема.

[pogulyat_vyshel]

(Оффтоп)

mihaild в сообщении #1460919 писал(а):

Вообще, пока у нас область интегрирования хорошая, а точек разрыва мало, разницу между интегралами Римана и Лебега увидеть сложно.

а вам не случалось решать задачи в очень хороших областях и с очень хорошими функциями, и при этом использование интеграла Лебега оправдано тем, что он обладает рядом замечательных теоретико-функциональных свойств, которых нет у интеграла Римана? Вот пример, кстати, http://dxdy.ru/post1367765.html#p1367765

[mihaild]

(Оффтоп)

pogulyat_vyshel в сообщении #1461403 писал(а):

он обладает рядом замечательных теоретико-функциональных свойств, которых нет у интеграла Римана?

А какими, кроме того, что он существует чаще? Всякие теоремы сходимости для интеграла Лебега конечно выглядят проще, но именно за счет того, что для измеримости предела последовательности измеримых функций достаточно гораздо более слабого понятия предела, чем для интегрируемости предела интегрируемых. Если в эти теоремы добавить условие, что все участвующие функции интегрируемы по Риману - то они автоматически переносятся и на интеграл Римана.

[pogulyat_vyshel]

mihaild в сообщении #1461621 писал(а):

А какими, кроме того, что он существует чаще? Всякие теоремы сходимости для интеграла Лебега конечно выглядят проще, но именно за счет того, что для измеримости предела последовательности измеримых функций достаточно гораздо более слабого понятия предела, чем для интегрируемости предела интегрируемых. Если в эти теоремы добавить условие, что все участвующие функции интегрируемы по Риману - то они автоматически переносятся и на интеграл Римана.

Хотите сказать, что если последовательность интегрируемых по Риману функций сходится в $L^2$ то предел тоже интегрируемая по Риману функция?

[mihaild]

pogulyat_vyshel в сообщении #1461630 писал(а):

если последовательность интегрируемых по Риману функций сходится в $L^2$ то предел тоже интегрируемая по Риману функция?

mihaild в сообщении #1461621 писал(а):

все участвующие функции интегрируемы по Риману

Все - включая и предельную. Да, если последовательность интегрируемых по Риману функций сходится в $L^2$ к интегрируемой по Риману функции, то предел этой последовательности интегрируем по Риману:)