Повторный интеграл

[Padawan]

Brukvalub в сообщении #1460788 писал(а):

Есть ровно два единственно правильных понимания высказывания Евгения Машерова

Либо он считает, что $\alpha$ таково, что интеграл сходится.

-- Чт май 07, 2020 11:38:58 --

Norma в сообщении #1460568 писал(а):

Тут получается, что интеграл сходится при любом $\alpha$, а это не так

Ну вот еще пример $\iint\limits_{(-1,1)\times \mathbb R} xdxdy$ расходится, а в повторном $\int\limits_{-1}^1 xdx\int\limits_{\mathbb R} dy=0$ т.к. внешний интеграл равен нулю. Что тут не так?

[pogulyat_vyshel]

Brukvalub в сообщении #1460604 писал(а):

Есть еще одна загвоздка. В определении сходимости несобственного кратного интеграла говорится, что нужно рассматривать не одно, а всевозможные исчерпания. Известна теорема, что для неотрицательной функции сходимость достаточно изучить для одного исчерпания. Но сейчас-то функция под интегралом знакопеременная! Как же быть?

Какая всетаки гадость этот ваш интеграл Римана

[SomePupil]

(Оффтоп)

pogulyat_vyshel в сообщении #1460825 писал(а):

Какая всетаки гадость этот ваш интеграл Римана

Однако же Ваш интеграл Лебега тоже не без изъяна: $\int fd\mu$ и $\int |f|d\mu$ интегрируемы одновременно, то есть, интеграл Лебега "не чувствителен" к осцилляциям $-$ только к абс. величине; а чувствовать осцилляции ой как необходимо народному хозяйству! Риман со знакопеременной подынтегральной функцией хотя бы "видит" эти осцилляции, например, $\frac{\sin x}{x}$ на $(0, \infty)$ и $\frac1{x}$ на $(-1,1)\backslash 0$.

[Padawan]

(Оффтоп)

Только это уже не Риман, а несобственный Риман. Точно также можно и несобственный интеграл Лебега сделать (и он есть).

[Евгений Машеров]

Brukvalub в сообщении #1460788 писал(а):

Есть ровно два единственно правильных понимания высказывания Евгения Машерова: либо он пошутил, либо он не знает определения и свойств кратного несобственного интеграла.

Ну, в каждой шутке есть доля шутки. А нешуточная часть состоит в том, что если интеграл сходится, то он равен нулю. А если не сходится - то можно рассмотреть функцию от $\varepsilon$ вида
$I(\varepsilon)=\iint\limits_{x^2+y^2<1;x^2+y^2>\varepsilon} \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^{\alpha}}=0$ для $\varepsilon>0$
и найти предел $\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}I(\varepsilon)=0$
Не знаю, вправе ли я говорить, что это "в смысле главного значения" ноль.
Но симметрия остаётся симметрией, и после перехода к сферическим координатам очевидно, что либо второй сомножитель, интеграл, зависящий от r, сходится, и тогда произведение нулевое, поскольку первый сомножитель ноль, либо второй сомножитель расходится, а симметрия остаётся. Неопределённость или "ноль в смысле главного значения" - пусть лучше знающие меня уточнят.

[SomePupil]

(Оффтоп)

Padawan в сообщении #1460830 писал(а):

Только это уже не Риман, а несобственный Риман.

Об чем выше и речь

Padawan в сообщении #1460830 писал(а):

Точно также можно и несобственный интеграл Лебега сделать (и он есть).

Да, но он далеко не так хорош. К примеру, Hilbert transform на нем не построить.

[Brukvalub]

(Оффтоп)

pogulyat_vyshel в сообщении #1460825 писал(а):

Какая всетаки гадость этот ваш интеграл Римана

Про тех, кто со снобизмом превозносит интеграл Лебега, ругая интеграл Римана, еще Ильич писАл: "...узок их круг, страшно далеки они от народа.."

[Padawan]

(Оффтоп)

SomePupil в сообщении #1460832 писал(а):

Да, но он далеко не так хорош. К примеру, Hilbert transform
на нем не построить.

Хм. Пусть $f(x)$ интегрируема по Лебегу (абсолютно) на любом конечном отрезке. Положим $\int_0^{+\infty}f(x)dx=\lim\limits_{R\to+\infty}\int_0^R f(x) dx$. Чем это может быть хуже несобственного интеграла Римана?

[mihaild]

(Оффтоп)

pogulyat_vyshel в сообщении #1460825 писал(а):

Какая всетаки гадость этот ваш интеграл Римана

Что предлагается? У интеграла Лебега все те же развлечения сохраняются.

Евгений Машеров в сообщении #1460831 писал(а):

А если не сходится - то можно рассмотреть функцию от $\varepsilon$ вида
$I(\varepsilon)=\iint\limits_{x^2+y^2<1;x^2+y^2>\varepsilon} \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^{\alpha}}=0$ для $\varepsilon>0$
и найти предел $\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}I(\varepsilon)=0$

Почему вырезаем именно круг вокруг нуля, что за дискриминация остальных точек? Почему не рассмотреть функцию $I(\varepsilon)=\iint\limits_{\substack{x^2+y^2<1 \\ (x - \varepsilon)^2 + y^2 > 2\varepsilon}} \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^{\alpha}}$ для $\varepsilon>0$? (не хочется считать, какой у неё предел будет, но понятно, что можно подбором области получить вообще любой предел)

[Евгений Машеров]

Ну вот поэтому я говорю "в смысле главного значения". С одинаковыми отступами от точки разрыва.

[SomePupil]

(Оффтоп)

Padawan в сообщении #1460835 писал(а):

Пусть $f(x)$ интегрируема по Лебегу (абсолютно) на любом конечном отрезке.

Вот: $\int_0^{+\imfty}\frac{\sin x}{x}dx = +\infty,$ и непонятно как из этого интеграла получить что-нибудь разумное. А по Риману интеграл условно сходится, и можно из этой условной сходимости получить кое-что разумное. Конечно, это не так изящно, как теоремы сходимости интеграла Лебега, но с подобными интегралами завязаны так много вещей, так что...
P. S. Есть ненулевая вероятность, что это может вылиться в терминологический спор.

[Padawan]

(Оффтоп)

SomePupil в сообщении #1460844 писал(а):

А по Риману интеграл условно сходится, и можно из этой условной сходимости получить кое-что разумное.

Можно и по Лебегу ту же самую условную сходимость определить. Тут Риман, Лебег разницы нет. Берем предел частичных интегралов и все.

[SomePupil]

(Оффтоп)

Padawan, правильно ли я понимаю, что вы не интерпретируете "несобственный интеграл Лебега" на $(0, \infty)$ как интегрируемость по Лебегу на $(0, \infty)$?

[Padawan]

(Оффтоп)

SomePupil
Да, правильно. Для абсолютно сходящегося я просто говорю "функция интегрируема по Лебегу на $(0,+\infty)$.

[SomePupil]

(Оффтоп)

Padawan, ок, но тогда цитата из "Иронии судьбы" с тем же посылом может быть применена и к этой конструкции
В этом смысле фронт идет скорее не по линии интеграл Римана/интеграл Лебега, а по линии несобственные интегралы по Риману, Лебегу/ "обычные" интегралы Лебега на неограниченных интервалах. А именно, в моих сообщениях акцент ставится на бессильность последних и полезность первых.