Повторный интеграл

[Norma]

$\iint\limits_{x^2+y^2<1} \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^{\alpha}}=\int_{0}^{2\pi}\cos(2\varphi)d\varphi \int_{0}^{1}\frac{1}{r^{2\alpha-3}}dr$ И если взять внешний интеграл, то получится $0$. Что не так?

[mihaild]

А почему вы думаете, что что-то (кроме потерявшихся дифференциалов в первом интеграле) не так?

[Norma]

mihaild
Тут получается, что интеграл сходится при любом $\alpha$, а это не так

[mihaild]

Выполнение условия теоремы о переходе от двойного интеграла к повторному проверьте.

[Norma]

Я уже перешел к пределу.
$\lim\limits_{\varepsilon \to 0}\int_{0}^{2\pi}\cos(2\varphi)d\varphi \int_{\varepsilon}^{1}\frac{1}{r^{2\alpha-3}}dr=\int_{0}^{2\pi}\cos(2\varphi)d\varphi \int_{0}^{1}\frac{1}{r^{2\alpha-3}}dr$

[Someone]

Norma в сообщении #1460572 писал(а):

И если взять внешний интеграл, то получится $0$. Что не так?

А внутренний интеграл сходится?

[Norma]

Someone
Да, тоже уже подумал об этом. Сначала нужно посмотреть, при каких значениях параметра сходится внутренний интеграл. Спасибо

[Brukvalub]

Есть еще одна загвоздка. В определении сходимости несобственного кратного интеграла говорится, что нужно рассматривать не одно, а всевозможные исчерпания. Известна теорема, что для неотрицательной функции сходимость достаточно изучить для одного исчерпания. Но сейчас-то функция под интегралом знакопеременная! Как же быть?

[Norma]

Brukvalub
Можно поставить модуль

[Otta]

Norma
Можно все ) но сперва надо вспомнить подходящий результат.

[Brukvalub]

Norma в сообщении #1460609 писал(а):

Можно поставить модуль

Но тогда интеграл по углу уже не будет нулевым.

[Евгений Машеров]

А отчего бы тут не быть нулю? Каждой точке с координатами (x, y) в которой числитель положителен, соответствует точка с координатами (y, x) в которой числитель отрицателен и равен по модулю, а знаменатель тот же.

[Brukvalub]

Евгений Машеров в сообщении #1460679 писал(а):

А отчего бы тут не быть нулю? Каждой точке с координатами (x, y) в которой числитель положителен, соответствует точка с координатами (y, x) в которой числитель отрицателен и равен по модулю, а знаменатель тот же.

Ну да. А в ряду $\sum(-1)^n$ каждые два соседних слагаемых взаимно уничтожаются. Поэтому он сходится к $0$.

[Dan B-Yallay]

Если я правильно понял Евгений Машеров, этот интеграл (как предел интегральных сумм) скорее похож не на ряд, а на нечто вроде

$$\lim_{n \to \infty}\ \sum\limits_{i=1}^n \left(\dfrac 1 n - \dfrac 1 n \right)$$

[Brukvalub]

Dan B-Yallay в сообщении #1460773 писал(а):

Если я правильно понял Евгений Машеров

Есть ровно два единственно правильных понимания высказывания Евгения Машерова: либо он пошутил, либо он не знает определения и свойств кратного несобственного интеграла.