Обоснование перехода к пределу по параметру

[novichok2018]

Не хватает знаний по матану в такой задаче. Пусть $F_c, F_s$ - косинус и синус преобразования Фурье при обычных определениях, постоянные перед ними не важны.
Составим выражение (регуляризацию)

$$ \lim_{\varepsilon \to 0} (F_c \exp(-\varepsilon t) F_s f). $$

Задача: обосновать переход к пределу по параметру в образовавшемся после подстановки интегральных определений преобразований двойном интеграле. Спасибо.

[novichok2018]

Ответов нет, попробую дополнить и уточнить вопрос.
Задача состоит в доказательстве связи между парой синус/косинус преобразований Фурье на полуоси

$$ (F_s f(x))(t)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_0^{\infty} \sin(xt) f(t)\, dt \ \ , (F_c f(x))(t)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_0^{\infty} \cos(xt) f(t)\, dt $$

и парой преобразований Гильберта на полуоси

$$ (H_1 f(x))(t)= \frac{2}{\pi}\int_0^{\infty}\frac{t}{t^2-x^2} f(x) \, dx \ \ , (H_2 f(x))(t)= \frac{2}{\pi}\int_0^{\infty}\frac{x}{x^2-t^2} f(x) \, dx \ \ . $$

Все эти четыре преобразования на полуоси унитарны в $L_2(0;\infty)$.
Формулы связи между ними имеют вид:

$$ F_s F_c=H_1, F_c F_s=H_2. $$

Эти формулы можно доказывать по-разному, попробуем метод регуляризации (предложено Э.Л.Шишкиной). А именно,

$$ (F_s \exp(-\varepsilon t) F_c f)(x)=\frac{2}{\pi}\int_0^{\infty}\exp(-\varepsilon t)\sin(xt)\,dt \int_0^{\infty} \cos(yt) f(y)\, dy= $$

$$ =\frac{1}{\pi}\int_0^{\infty}f(y)\,dy \int_0^{\infty}\exp(-\varepsilon t)(\sin(x-y)t+\sin(x+y)t)\,dt. $$

Пара внутренних интегралов считаются по таблицам, получается

$$ =\frac{1}{\pi}\int_0^{\infty}f(y)\left(\frac{x-y}{(x-y)^2+\varepsilon^2}+\frac{x+y}{(x+y)^2+\varepsilon^2}\right)\, dy, $$

и если перейти к пределу при $\varepsilon \to \o$, то всё получается. Вопрос: как обосновать законность перехода к пределу в двойном интеграле при таком вычислении?

В теме post1458786.html#p1458786 по существу обсуждалась проверка этих
формул при помощи пакета МАТЕМАТИКА.