Вычислить предел

[Nike]

Здравствуйте!!! Помогите разобраться с пределом: Начал решать и застрял на след. этапе:

$$\lim_{x\to -\infty}(x-\sqrt[3]{\frac{2x^{4}+x}{2x+\cos(x)}})=[\infty-\infty]= \lim_{x\to -\infty}\frac{(x-\sqrt[3]{\frac{2x^{4}+x}{2x+\cos(x)}})(x^{2}+x\sqrt[3]{\frac{2x^{4}+x}{2x+\cos(x)}}+\sqrt[3]{(\frac{2x^{4}+x}{2x+\cos(x)})^{2}})}{x^{2}+x\sqrt[3]{\frac{2x^{4}+x}{2x+\cos(x)}}+\sqrt[3]{(\frac{2x^{4}+x}{2x+\cos(x)})^{2}}}=$$

$$\lim_{x\to -\infty}\frac{x^{3}-\frac{2x^{4}+x}{2x+\cos(x)}}{x^{2}+x\sqrt[3]{\frac{2x^{4}+x}{2x+\cos(x)}}+\sqrt[3]{(\frac{2x^{4}+x}{2x+\cos(x)})^{2}}}$$

может есть решение более рациональнее, моему решению?

[Otta]

Ну, самое бронебойное: использовать формулу Тейлора. Или простейшие эквивалентности, но это смотря в каком количестве их Вам выдали.

[Nike]

Otta в сообщении #1460727 писал(а):

Ну, самое бронебойное: использовать формулу Тейлора. Или простейшие эквивалентности, но это смотря в каком количестве их Вам выдали.

я правильно понял? с самого начала надо от корня кубического избавиться с помощью эквивалентности $\sqrt[3]{1+x}\sim 1+\frac{x}{3}$

$$\sqrt[3]{\frac{2x^4+x}{2x+\cos(x)}}=\sqrt[3]{\frac{1+\frac{1}{2x^3}}{1+\frac{\cos(x)}{2x}}}$$

[Otta]

Зачем это страшное? Вы сперва из всей дроби сделайте единицу + бесконечно малую.

[venco]

Там предел на бесконечности, так что не единицу.

[Otta]

Ну дык подразумевается, что остальное ТС догадается вынести :)

[Nike]

Otta в [url=http://dxdyл..ru/post1460734.html#p1460734]сообщении #1460734[/url] писал(а):

Ну дык подразумевается, что остальное ТС догадается вынести :)

что надо вынести? извините, что туплю

[Otta]

Nike в сообщении #1460738 писал(а):

что надо вынести?

А подумать?

Nike в сообщении #1460729 писал(а):

$\sqrt[3]{1+x}\sim 1+\frac{x}{3}$.

Вы знаете эту эквивалентность. Кстати, куда икс стремится? это обязательно и помнить, и указывать.
У Вас такого сорта выражение, оно сразу может быть представлено в таком виде или нужно дополнительные действия предпринять?

[Nike]

Кстати, куда икс стремится? к нулю
У такого сорта выражение, оно сразу может быть представлено в таком виде или нужно дополнительные действия предпринять? дополнительно нужно действия

[provincialka]

Напомнило:

Старый анекдот писал(а):

Провинциальные родственники потерялись в большом городе, шлют телеграмму Изе. "Изя, ты знаешь адрес тёти Хаи?" Ответ: "Да, я знаю адрес тёти Хаи."

Чтобы вставить часть сообщения собеседника, выделите его и нажмите кнопку "Вставка", получится так:

Nike в сообщении #1460745 писал(а):

Кстати, куда икс стремится? к нулю

А вот и неправда! У вас тут разные иксы и стремятся по-разному. Так что надо сотворить что-то, стремящееся к нулю.

[Nike]

provincialka в сообщении #1460747 писал(а):

Чтобы вставить часть сообщения собеседника, выделите его и нажмите кнопку "Вставка", получится так:

учту на будущее

-- 06.05.2020, 23:01 --

provincialka в сообщении #1460747 писал(а):

Так что надо сотворить что-то, стремящееся к нулю.

а не могли бы подсказать чуток?

[provincialka]

Nike
Хм... "чуток" может быстро перейти в полное решение, чего нельзя. Собственно, вам уже намекали... Например, в исходном примере $x$ стремится к бесконечности. А вот обратная к нему величина -- к 0. И вообще, когда мы работаем со степенями в бесконечности, имеет смысл вынести старшую степень $x$ за скобки.

[Nike]

может так?

$$\sqrt[3]{\frac{2x^4+x}{2x+\cos(x)}}=x\sqrt[3]{\frac{1+\frac{1}{2x^3}}{1+\frac{\cos(x)}{2x}}}$$

[provincialka]

Otta в сообщении #1460742 писал(а):

$\sqrt[3]{1+x}\sim 1+\frac{x}{3}$.
Вы знаете эту эквивалентность.

Кстати, по большому счету, эквивалентность записывается не так, посмотрите в табличке (и это важно в данном примере)

И не переспрашивайте каждый шаг. Выносите $x$ из всего выражения.

[Someone]

Nike в сообщении #1460729 писал(а):

$$\sqrt[3]{\frac{2x^4+x}{2x+\cos(x)}}=\sqrt[3]{\frac{1+\frac{1}{2x^3}}{1+\frac{\cos(x)}{2x}}}$$

Это неверно.

Nike в сообщении #1460745 писал(а):

Кстати, куда икс стремится? к нулю

В комплекте с "эквивалентностью" всегда идёт точное указание, куда стремится переменная. Без этого указания это не эквивалентность, а просто неправильная формула. И первое, что нужно посмотреть — соответствие этой информации вашему пределу.

P.S. Скобки вокруг дробей, корней и вообще "высоких" выражений лучше писать в виде \left( и \right): $\left(\frac{2x^4+x}{2x+\cos x}\right)^2$. Подробнее — в теме "FAQ по тегу [mаth]", сообщения https://dxdy.ru/post1120.html#p1120 и https://dxdy.ru/post443191.html#p443191.