Несобственный интеграл от синуса

[podalirius]

Добрый день возник вопрос.

всегда думал что интеграл вида
$\int_0^{\infty} \sin x \, dx$
расходится. Но тут наткнулся на некоторые формулы преобразования Фурье в частности существуют формулы преобразования Фурье функции знака $\operatorname{sign}(t) $, которая равна -1 для $t<0$, и 1 для $ t >0 $. Так вот доказано, что $\mathcal{F} \operatorname{sign}(t) = 2/(j \omega) $.

Тогда получается, что преобразование Фурье функции знака равно:

$$ \mathcal{F} \operatorname{sign}(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \operatorname{sign}(t) \exp(-j\omega t) dt = \int_{-\infty}^{\infty} \operatorname{sign}(t) \cos(\omega t) dt -j \int_{-\infty}^{\infty} \operatorname{sign}(t) \sin(\omega t) dt$$

Первый интеграл обращается в ноль т.к. косинус четная, знак- нечетная. Получается

$$ \mathcal{F} \operatorname{sign}(t) = -j \int_{-\infty}^{\infty} \operatorname{sign}(t) \sin(\omega t) dt = -j \cdot 2 \int_{0}^{\infty} \sin(\omega t) dt$$

так как и синус и знак нечетный, то их произведение дает четную функцию. Ну и наконец используя что $\mathcal{F} \operatorname{sign}(t) = 2/(j \omega) $ получаем:

$$ \mathcal{F} \operatorname{sign}(t) =-j \cdot 2 \int_{0}^{\infty} \sin(\omega t) dt = 2/(j \omega)$$

откуда можно записать что

$$ \int_{0}^{\infty} \sin(\omega t) dt = \frac{1}{\omega}$$

Получился странный результат, несобственный интеграл от синуса совсем не расходится.

Выражение $\mathcal{F} \operatorname{sign}(t) = 2/(j \omega) $ взято из книги
Ronald N. Bracewell The Fourier Transform and Its Applications. Second edition 1986. Книга есть в бумажном формате на руках готов предоставить необходимые цитаты.

[mihaild]

podalirius в сообщении #1460713 писал(а):

доказано, что $\mathcal{F} \operatorname{sign}(t) = 2/(j \omega) $.

Тут нужно уточнять, в каком смысле понимать это равенство. Скорее всего оно понимается в смысле обобщенных функций. Что при этом означает $\int_{-\infty}^{\infty} \operatorname{sign}(t) \exp(-j\omega t) dt$ - уже непонятно, надо куда-то пробную функцию запихнуть. С пробной функцией можно будет разбить интеграл на две суммы, но вот выкинуть первое слагаемое уже не получится - пробная функция быть четной не обязана.

[Markiyan Hirnyk]

В классическом смысле преобразование Фурье $\operatorname{sign}(t)$ не существует, т.к. интеграл $\int_{-\infty}^\infty 1\,dt$ расходится. Это преобразование определяется в терминах обобщенных функций (см., например, Вики) и сравнивать его с несобственным интегралом некорректно.

[Xaositect]

Это говорит о том, что в преобразовании Фурье от функции, которая не является абсолютно интегрируемой на всем $\mathbb{R}$, интеграл следует понимать не как обычные интегралы.
Преобразование Фурье от функции знака существует только в смысле обобщенных функций. Поскольку теория тут достаточно нетривиальная, для прикладников всех деталей тут обычно не расписывают. Bracewell упоминает об этом в самом начале, в разделе "Conditions for the existence of Fourier transforms" он говорит, что по данному определению преобразование от синуса или ступеньки Хевисайда не существует, а в следующем параграфе дает одно из возможных расширенных определений (предел при $a\to 0$ преобразования фурье от $e^{-ax^2} f(x)$, тоже не самое общее определение, но для синусов и ступенек уже достаточное).

[Eule_A]

Я сейчас затруднюсь конкретное место назвать в задачнике по квантовой механике Галицкого, Карнакова и Когана, где этот момент используется, но там делается так: вычисляется интеграл не от синуса, а от $e^{-\alpha t}\sin\omega t$, а затем выполняется предельный переход при $\alpha\to 0+$. Относительно недавно мне встречался подробный разбор этого момента с математической точки зрения, но к огромному сожалению найти этого у себя не могу...
Нашлось только вот это пособие (pdf), раздел 2.5.

P.S. Если кто-то подскажет другие источники, где обоснование приведено, был бы благодарен.

[podalirius]

Что-то я окончательно не могу понять. Вот возьмем, например функцию, которая состоит из двух прямоугольных импульсов:



В результате выкладок получил выражение для преобразования Фурье этой функции:

$$ \mathcal{F} s(t) = \frac{4}{j \omega} \sin^2\left(\omega \tau / 2 \right)$$

Проверил равенство Прасеваля и прочие нормировки для полученного выражения - все сходится.

Если устремить $\tau \to \infty$ то $s(t) \to \operatorname{sign} (t)$, но выражения преобразования Фурье никак не сходится к вышеприведенному $ \mathcal{F}s(t) = 2 / (j \omega) $! и множитель 4 вместо 2 и наличие синуса квадрат. При $\tau \to \infty$ синус начинает бесконечно быстро осциллировать и спектральная плотность превращается в "толстую линию" с огибающей вида



PS имея инженерное образование привык доверять знаку равенства в уравнениях. Всегда считал, что знак равно это такой весомый аргумент, который говорит, что справа и слева одно и тоже, как ни крути.

[Padawan]

Ну всё правильно, $\sin^2(ax)=\frac{1}{2}-\cos(2ax)$ сходится к $1/2$ при $a\to\infty$ (косинус сходится к нулю) в смысле теории обобщенных функций. То есть для любой финитной бесконечно дифференцируемой функции $\varphi(x)$ выполнено

$$ \lim\limits_{a\to\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\varphi(x)\sin^2(ax)\, dx=\frac 12\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\varphi(x)\, dx $$

-- Чт май 07, 2020 13:01:59 --

podalirius в сообщении #1460836 писал(а):

Всегда считал, что знак равно это такой весомый аргумент

Да, в теории обобщенных функций с этим печально. Все расходится, а мы говорим, что все нормально, равенство есть Кроме того, разных обобщенных функций пруд пруди, под каждую задачу можно придумать своё подходящее пространство основных и обобщенных функций. Сейчас как раз с этим столкнулся, понадобилось разобрать преобразование Лапласа обобщенных функций.

[Red_Herring]

Замечание. $\frac{1}{\omega}$ становится обобщенной функцией только после того, как мы определим ее действие на основные: $\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\omega}\phi(\omega}\,d\omega$ понимается в смысле главного значения для ого, чтобы она была преобразованием Фурье $\operatorname{sign}(x)$. Эквивалентно $\frac{1}{\omega}:= \frac{1}{2(\omega+i)}+\frac{1}{2(\omega-i)}$