Закон сохранения импульса

[Stensen]

Всем доброго здравия. Пытаюсь проникнуть в логику решения задачи, но мозг отказал. Бабочки летают, быстро хлопая крыльями. Оцените, с какой частотой $\nu$ бабочке надо махать крыльями в воздухе плотностью $\rho$ , чтобы не упасть, если масса бабочки $M$, площадь крыльев $S$. Максимальная вертикальная скорость концов крыльев в полёте $v$. Считайте, что бабочка опускает крылья вниз плашмя, а поднимает их вверх ребром.

В решении автора: $\nu=\frac{mg}{\rho S (\frac{v}{2})^2}$, не совпадает размерность, если я правильно понимаю, размерность частоты $\nu$ - это $[\frac{1}{cek}]$.

Т.к. присутствует сила тяжести, решаю через ЗСИ для незамкнутой системы: $Mg \cdot N \Delta t = Mu - N mv_c$, где: $v_c$ - средняя скорость крыла, $\Delta t$ - время одного взмаха, за который бабочка вытолкнет воздух массой $m$ и за $N$ взмахов получит импульс вверх $Mu$.

Масса выталкиваемого воздуха, при каждом взмахе: $m=\rho S v_c \Delta t$ , тогда импульс крыла: $m v_c =\rho S v_c^2 \Delta t$.
Т.к.: $N=\nu \Delta t $, подставим в ЗСИ:

$Mg \nu (\Delta t)^2 = Mu-\rho S v_c^2 \nu (\Delta t)^2$. Не понимаю как это решить относительно $ \nu $ ?

P.S. Я видел авторское решение, не удовлетворило.

[DimaM]

Stensen в сообщении #1460331 писал(а):

Не понимаю как это решить относительно $ \nu $ ?

Поди, $\nu$ и $\Delta t$ как-то связаны между собой?
Но в вашем уравнении что-то не то со знаками: скажем, если бабочка висит на одной высоте ($u=0$), частота выходит отрицательной.

[Stensen]

DimaM в сообщении #1460374 писал(а):

В вашем уравнении что-то не то со знаками: скажем, если бабочка висит на одной высоте ($u=0$), частота выходит отрицательной.

Да, подправил: $-Mg \cdot N \Delta t = Mu - N mv_c -(-Mu)$ , если принять, что бабочка падает с той же средней скоростью, с которой поднимается, тогда: $-Mg \cdot N \Delta t = 2Mu - N mv_c$. Дальше опять тупик, нужно найти $u$ , но нечем.

DimaM в сообщении #1460374 писал(а):

Поди, $\nu$ и $\Delta t$ как-то связаны между собой?

Можно принять взмах за полпериода, то $\nu=\frac{1}{2\cdot\Delta t}$, но, думаю это не верно, т.к. бабочка бьет крылом и летит по параболе и возвращается на ту же высоту за др.время $\tau\ne\Delta t$
Попробовал еще так: бабочка, падая со скоростью $u$ делает один взмах за $\Delta t$ , получает импульс $2Mu=mv_c$ и с начальной скоростью $u$ совершает параболический полет с ускорением $-g $ за время $\tau =\frac{2u}{g}$ и возвращается на ту же высоту. Тогда один взмах бабочка должна делать за время $\tau$ и частота взмахов: $\nu=\frac{1}{\tau}=\frac{g}{2u}=\frac{Mg}{mv_c}$. Масса выталкиваемого воздуха: $m=\rho Sv_c \cdot \Delta t$, тогда: $\nu=\frac{Mg}{\rho Sv_c^2 \cdot \Delta t}$. И опять тупик, где взять $\Delta t$ ?

[DimaM]

Stensen в сообщении #1460424 писал(а):

Можно принять взмах за полпериода, то $\nu=\frac{1}{2\cdot\Delta t}$

Это разумная оценка.

Stensen в сообщении #1460424 писал(а):

Масса выталкиваемого воздуха: $m=\rho Sv_c \cdot \Delta t$

Я бы оценил массу выталкиваемого воздуха как $\rho V\sim \rho S\sqrt{S}$, такая масса отбрасывается каждые $1/\nu$ со скоростью порядка $v$.

[Stensen]

DimaM в сообщении #1460426 писал(а):

$\nu=\frac{1}{2\cdot\Delta t}$ - разумная оценка.
Я бы оценил массу выталкиваемого воздуха как $\rho V\sim \rho S\sqrt{S}$, такая масса отбрасывается каждые $1/\nu$ со скоростью порядка $v$.

Тогда из выше написанного ЗСИ:
$-Mg\cdot \Delta t = 2Mu-mv$ ,

где: $m=\rho S\sqrt{S}; \Delta t =\frac{1}{2\nu}$ . Будем считать, что бабочка находится на одной высоте, не двигается: $u=0$ , тогда:

$Mg \frac{1}{2\nu}=\rho S\sqrt{S} v$ , тогда: $\nu=\frac{Mg}{2\rho S\sqrt{S} v}$ ?

DimaM в сообщении #1460426 писал(а):

Mасса отбрасывается каждые $1/\nu$ со скоростью порядка $v$.

DimaM, поясните пожалуйста. Вы пишете, что эта масса отбрасывается каждые $1/\nu$ со скоростью $v$ . Так, понимаю, нужно писать: $-Mg\frac{1}{\nu}=\rho S\sqrt{S} v$ вместо $\frac{1}{2\nu}$ ? Нужно ли считать скорость движения крыла как среднюю: $v_c=\frac{v}{2}$ ?

[EUgeneUS]

Stensen
Несколько лет назад, насколько помню, обсуждалась задача - оценить частоту, с которой махает крыльями комар.
Это та же самая задача.

[DimaM]

Stensen в сообщении #1460555 писал(а):

Так, понимаю, нужно писать: $-Mg\frac{1}{\nu}=\rho S\sqrt{S} v$ вместо $\frac{1}{2\nu}$ ?

Я бы так написал.

Stensen в сообщении #1460555 писал(а):

Нужно ли считать скорость движения крыла как среднюю: $v_c=\frac{v}{2}$ ?

Поскольку это оценка, то можно и среднюю, и максимальную.

EUgeneUS в сообщении #1460557 писал(а):

Несколько лет назад, насколько помню, обсуждалась задача - оценить частоту, с которой махает крыльями комар.

Помнится, эта частота должна быть в районе пяти-шести сотен герц.