Законы сохранения в метриках Керра и Керра-Ньюмана

[realeugene]

epros в сообщении #1459747 писал(а):

Утверждение "вечный двигатель невозможно построить" логически эквивалентно утверждению "существуют законы сохранения". Так что выбирайте: Либо ВД возможен, но его нам не удалось пока построить по собственной глупости, либо законы сохранения существуют, но почему-то есть трудности с тем, чтобы их сформулировать.

А что может мешать построить вечный двигатель в бесконечной вселенной?

[KVV]

schekn в сообщении #1460086 писал(а):

Я сторонник полевой теории

Какой именно?

[KVV]

Ясно, что выводить законы сохранения через псевдотензор нужно только в определенных координатах. С координатами из первого поста все отлично. Но если считать в координатах Керра-Шильда, то получается малость странный результат. Эту странность можно продемонстрировать и для метрики Шварцшильда в координатах Эддингтона-Финкельштейна, т.к. координаты Керра-Шильда при $a=0,e=0$ связаны с ними.

Итак исходим из метрики Шварцшильда в координатах Эддингтона-Финкельштейна (в первоначальной записи):

$$ds^2=dt^2-dr^2-r^2\,d\theta^2-r^2\sin^2\theta\,d\varphi^2-2\,m/r\,(dt+dr)^2$$

Применяем чисто пространственные преобразования в декартовы координаты $r=\sqrt{x^2 + y^2+z^2},\theta=\arccos \left( {\frac {z}{\sqrt{x^2 + y^2+z^2}}\right),\varphi=\arctg(y,x)$ и получаем компоненты метрического тензора в таком виде:
$\\ g_{tt}={\frac {\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}-2\,m}{\sqrt {{x }^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}}},\\ g_{tx}=-2\,{\frac {xm}{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2} }},\\ g_{ty}=-2\,{\frac {ym}{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}},\\ g_{tz}=-2\,{\frac {z m}{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}},\\ g_{xx}={\frac {-2\,m{x}^{2}\sqrt {{x}^{2}+ {y}^{2}+{z}^{2}}- \left( {x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2} \right) ^{2}}{ \left( {x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2} \right) ^{2}}},\\ g_{xy}=-2\,{\frac {yxm}{ \left( {x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2} \right) ^{3/2}}},\\ g_{xz}=-2\,{\frac {zmx }{ \left( {x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2} \right) ^{3/2}}},\\ g_{yy}={\frac {-2\, \sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}m{y}^{2}- \left( {x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2 } \right) ^{2}}{ \left( {x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2} \right) ^{2}}},\\ g_{yz}=- 2\,{\frac {zmy}{ \left( {x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2} \right) ^{3/2}}},\\ g_{zz}={\frac {-2\,{z}^{2}\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}m- \left( {x}^{2}+{ y}^{2}+{z}^{2} \right) ^{2}}{ \left( {x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2} \right)^{2}}}. $

Так вот псевдотензор Ландау-Лифшица в этих координатах тождественно равен нулю.

Но некоторые компоненты суперпотенциала $h$ (96.2) ЛЛ2 не равны нулю. В частности, не равны нулю компоненты, нужные для вычисления энергии:

$$h^{ttx}=1/4\,{\frac {x\,m}{ \left( {x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2} \right) ^{3/2}\pi}}$$

$$h^{tty}=1/4\,{\frac {y\,m}{ \left( {x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2} \right) ^{3/2}\pi}}$$

$$h^{ttz}=1/4\,{\frac {z\,m}{ \left( {x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2} \right) ^{3/2}\pi}}$$

С помощью них мы получим правильный результат $E=m$.

Получается, что подынтегральное выражение формул (96.11) и (96.12) ЛЛ2 тождественно равно нулю. Но расчет по следующим из них формулам (96.15-16) конечен и такой, как надо.
В чем тут дело?

Скрипт на Maple

[Утундрий]

KVV в сообщении #1462452 писал(а):

В чем тут дело?

Могу только повторить: вы занимаетесь вычисление величины, которая равна чему угодно.

[KVV]

Утундрий в сообщении #1462471 писал(а):

KVV в сообщении #1462452 писал(а):

В чем тут дело?

Могу только повторить: вы занимаетесь вычисление величины, которая равна чему угодно.

Я в курсе насчет псевдотензора. Но тут вопрос уже чисто математический - почему в данном случае при преобразовании с (96.11) в (96.16) с помощью теоремы Гаусса из нуля получается не нуль?

[Утундрий]

KVV в сообщении #1462476 писал(а):

Я в курсе насчет псевдотензора. Но тут вопрос уже чисто математический - почему в данном случае при преобразовании с (96.11) в (96.16) с помощью теоремы Гаусса из нуля получается не нуль?

Не, так понятно. Но шо конкретно? (с) группа "Несчастный случай".

[KVV]

Поехали дальше)

Понятно, что расчет из стартового сообщения не слишком удовлетворителен - приходится задавать не просто плоское пространство-время на бесконечности, а обязательно в лоренцевых координатах, переводить метрику Керра-Ньюмана в декартовы координаты, в которых она выглядит монструозно, что также увеличивает вычислительную сложность расчета, и конечно, никуда не деваются все вопросы к псевдотензорам, как таковым.

Попробуем сделать расчет сохраняющихся величин метрики Керра-Ньюмана в координатах Бойера-Линдквиста - самая привычная запись этой метрики. Ненулевые компоненты метрического тензора выглядят так:
$\\ g_{tt}=1-{\frac {2\,mr}{{r}^{2}+{a}^{2} \left( \cos \left( \theta \right) \right) ^{2}}}+{\frac {{e}^{2}}{{r}^{2}+{a}^{2} \left( \cos \left( \theta \right) \right) ^{2}}}\\ g_{t\varphi}={\frac {a \left( \sin \left( \theta \right) \right) ^{2} \left( -{e}^{2}+2\,mr \right) }{{r}^{2}+{a}^{2} \left( \cos \left( \theta \right) \right) ^{2}}}\\ g_{rr}=-{\frac {{r}^{2}+{a}^{2} \left( \cos \left( \theta \right) \right) ^{2}}{{a}^{2}+{e}^{2}-2\,mr+{r}^{2}}}\\ g_{\theta\theta}=-{r}^{2} -{a}^{2} \left( \cos \left( \theta \right) \right) ^{2},\\ g_{\varphi\varphi}=-{ \frac { \left( \sin \left( \theta \right) \right) ^{2} \left( {a}^{2} \left( {a}^{2}+{e}^{2}-2\,mr+{r}^{2} \right) \left( \cos \left( \theta \right) \right) ^{2}+ \left( -{e}^{2}+2\,mr+{r}^{2} \right) {a }^{2}+{r}^{4} \right) }{{r}^{2}+{a}^{2} \left( \cos \left( \theta \right) \right) ^{2}}} $

Воспользуемся подходом Петрова с использованием произвольных криволинейных координат и векторов Киллинга плоского на бесконечности пространства-времени. Сохраняющиеся величины в этом случае буду выглядеть так:

$$\int T_{tot}^{\mu\nu}\xi_{\mu}^{(n)}\sqrt{-\gamma}dS_{\nu}$$

где $T_{tot}^{\mu\nu}$ - полный (псевдо)тензор энергии-импульса гравитационного поля и материи; $\xi_{\mu}^{(n)}$ - набор n векторов Киллинга плоского на бесконечности пространства-времени ("фона") - сколько векторов, столько и сохраняющихся величин; $\gamma$ - определитель плоского на бесконечности пространства-времени ("фона").
$T_{tot}^{\mu\nu}$ является тензором относительно любых преобразований координат плоского на бесконечности пространства-времени, т.е. относительно "фона", но он остается конечно псевдотензором "внутри", т.к. в ОТО нет настоящего тензора энергии-импульса гравитационного поля, и быть не может принципиально. Но в рамках рассматриваемой здесь островной задачи он остается тензором на бесконечности, чего мне и достаточно.

$T_{tot}^{\mu\nu}$ можно выбрать из статьи Бабака и Грищука в виде (77), но с другим порядком ковариантных производных:

$$T_{tot}^{\mu\nu}=\frac{1}{16\pi}\,\left[\left(\gamma^{\mu\nu}+h^{\mu\nu}\right)\left(\gamma^{\alpha\beta}+h^{\alpha\beta}\right)-\left(\gamma^{\mu\alpha}+h^{\mu\alpha}\right)\left(\gamma^{\nu\beta}+h^{\nu\beta}\right)\right]_{;\beta;\alpha}$$

где $\gamma^{\mu\nu}$ - метрика "фона", $h^{\mu\nu}$ - тензор "возмущений" относительно "фона", а точка с запятой означает ковариантное дифференцирование по метрике "фона". Величины $\gamma^{\mu\nu}$ и $h^{\mu\nu}$ связаны с физической метрикой $g_{\mu\nu}$ посредством известной формулы Дезера (формула (45) в статье Бабака и Грищука):

$$\sqrt{-g}\,g^{\mu\nu}=\sqrt{-\gamma}\left(\gamma^{\mu\nu}+h^{\mu\nu}\right)$$

С ее помощью $T_{tot}^{\mu\nu}$ можно записать так:

$$T_{tot}^{\mu\nu}=\frac{1}{16\pi}\,\left[\frac{(-g)}{(-\gamma)}\left(g^{\mu\nu}g^{\alpha\beta}-g^{\mu\alpha}g^{\nu\beta}\right)\right]_{;\beta;\alpha}$$

Формула похожа на (78) из вышеприведенной статьи, но там опечатка.

Это выражение для $T_{tot}^{\mu\nu}$ как можно видеть является ковариантным (относительно "фона") обобщением псевдотензора Ландау-Лифшица. Введем также обозначения, являющиеся обобщениями соответствующих величин из п. 96 ЛЛ2:

$$\lambda^{\mu\nu\alpha\beta}=\frac{1}{16\pi}\,\left[\frac{(-g)}{(-\gamma)}\left(g^{\mu\nu}g^{\alpha\beta}-g^{\mu\alpha}g^{\nu\beta}\right)\right]$$

$$h^{\mu\nu\alpha}=\lambda^{\mu\nu\alpha\beta}_{;\beta}$$

где $h^{\mu\nu\alpha}$ - обобщенный суперпотенциал, не путать с $h^{\mu\nu}$.
Из предыдущих формул получим:

$$T_{tot}^{\mu\nu}=h^{\mu\nu\alpha}_{;\alpha}=\lambda^{\mu\nu\alpha\beta}_{;\beta;\alpha}$$

Отсюда интеграл выше можно преобразовать в поверхностный:

$$\int T_{tot}^{\mu\nu}\xi_{\mu}^{(n)}\sqrt{-\gamma}dS_{\nu}=\oint \left(h^{\mu 1 \alpha}\,\xi_{\mu}^{(n)}-\lambda^{\mu 1 \alpha b}\,\xi_{\mu;\alpha}^{(n)}\right)\sqrt{-\gamma}df_{b}$$

где латинский индекс b пробегает только пространственные координаты (2,3,4). На вывод этой формулы меня натолкнул в переписке сам многоуважаемый А.Н. Петров, без его помощи я бы к этому не пришел.

Векторы Киллинга пространства-времени Минковского в лоренцевых координатах известны и тривиальны:

$$\xi_{\mu}^{(01)}=[1,0,0,0]$$

$$\xi_{\mu}^{(02)}=[0,1,0,0]$$

$$\xi_{\mu}^{(03)}=[0,0,1,0]$$

$$\xi_{\mu}^{(04)}=[0,0,0,1]$$

$$\xi_{\mu}^{(05)}=[-x,t,0,0]$$

$$\xi_{\mu}^{(06)}=[-y,0,t,0]$$

$$\xi_{\mu}^{(07)}=[-z,0,0,t]$$

$$\xi_{\mu}^{(08)}=[0,0,-z,y]$$

$$\xi_{\mu}^{(09)}=[0,-z,0,x]$$

$$\xi_{\mu}^{(10)}=[0,-y,x,0]$$

Если посмотреть на векторы Киллинга и на формулу выше для поверхностного интеграла можно убедиться, что формулы (96.16-17) ЛЛ2 являются просто ее частными случаями при неявном рассмотрении "фона" именно в лоренцевых координатах и при неявном использовании векторов Киллинга в лоренцевых координатах. Также и вышеприведенные выражения для псевдотензора и суперпотенциала превращаются в соответствующие формулы п. 96 ЛЛ2 - в них исчезает определить "фона" и ковариантные производные превращаются в обычные.

Получается, если мы считаем традиционным способом с помощью псевдотензоров в обычных производных, то фактически мы автоматом неявно закладываем в задачу "фон" в лоренцевых координатах и векторы Киллинга также в лоренцевых координатах. И конечно традиционные псевдотензоры имеют смысл только внутри этих рамок. А значит, нечего и удивляться, что использование псевдотензора ЛЛ в криволинейных координатах дает бред.

Более того, даже традиционная формула для 4-момента импульса в СТО (14.4) ЛЛ2:

$$M^{\mu\nu}=\sum(x^{\mu}p^{\nu}-x^{\nu}p^{\mu})$$

неявно содержит векторы Киллинга, соответствующие вращению вокруг осей, в лоренцевых координатах. Формула (14.4) ЛЛ2 не ковариантная и не будет работать в криволинейных координатах даже в СТО.
Т.е. если кому-то не нравится появление нековариантных формул в ОТО, начните с СТО. В СТО они тоже есть. : )

Чтобы получить законы сохранения в криволинейных координатах нужно получить векторы Киллинга в этих координатах. Можно прямо проинтегрировать соответствующие уравнения, но проще воспользоваться преобразованием координат. Если использовать только пространственные преобразования, то единственным вектором Киллинга, не изменившим форму, окажется 1-й, соответствующий сдвигу по времени и сохранению энергии. Например 10-й, соответствующий вращению вокруг оси z, в сферических координатах превратится в:

$$\xi_{\mu}^{(10)}=[0,0,0,r^2\sin(\theta)^2]$$

Для расчета сохраняющихся величин в метриках Керра и Керра-Ньюмана я кроме "фона" в сферических координатах воспользовался также "фоном" в координатах Бойера-Линдквиста, его можно получить из этих метрик, положив в них $m=0,e=0$. В ЛЛ2 это формула (104.7). В координатах Бойера-Линдквиста 10-й вектор Киллинга выглядит уже так:

$$\xi_{\mu}^{(10)}=[0,0,0,(r^2+a^2)\sin(\theta)^2]$$

Расчет для метрик Керра и Керра-Ньюмана с использованием разных "фонов" дал один и тот же результат во всех случаях - сохраняются только две ненулевые величины - энергия $m$ и момент импульса $m\,a$, соотвествующие 1-му и 10-му векторам Киллинга. А при расчете с "фоном" в координатах Бойера-Линдквиста совпали даже алгебраические подынтегральные выражения, соответствующие тем, что получены расчетом из стартового сообщения в лоренцевых координатах. Что подтверждает связь между подходами. Существенна разница вычислительной сложности. Скрипт из стартового сообщения на моем компьютере выполняется почти за 9 мин., а из этого - 20 с.

Скрипт в Maple

-- 19.05.2020, 22:01 --

И я подумал снова насчет парадокса с нулевым псевдотензором в координатах Эддингтона-Финкельштейна, что изложено пару сообщений назад. Все-таки, это ведь координаты свободно движущихся наблюдателей. Логично, что для них псевдотензор становится нулевым - они ведь локально инерциальны. Получается, физически никакого парадокса - нулевой псевдотензор четко в соответствии с ПЭ. А глобально все равно поверхностный интеграл дает m. Так что физически нет парадокса. Только "математически", если можно так сказать.

P.S. Если в вашей версии Maple расчет момента импульса дал $m\,a/3$ вместо $m\,a$, то в строчках кода:

val10 := simplify(SumOverRepeatedIndices((h[~mu, ~1, ~b]*vk10[mu] + lambda[~mu, ~1, ~nu, ~b]*D_[nu](vk10[mu]))*sqrt(-g)*df[b]), symbolic)

замените плюсы на минусы:

val10 := simplify(SumOverRepeatedIndices((h[~mu, ~1, ~b]*vk10[mu] - lambda[~mu, ~1, ~nu, ~b]*D_[nu](vk10[mu]))*sqrt(-g)*df[b]), symbolic)

Я поставил плюсы из-за глюка с расчетом ковариантных производных в Maple 2019.2. В версии Maple 2018 этого глюка нет, и там должны стоять минусы, что математически правильно.

[Утундрий]

Давайте отвлечёмся от конкретики. В чём вообще может заключаться смысл и польза закона сохранения в ОТО?

[KVV]

Они там просто могут быть/есть в определенных случаях. Если есть симметрии в пространстве-времени и можно заключить все гравитационное поле в каком-то объеме (пусть и бесконечном), то законы сохранения есть и формулы для них ковариантны. Именно так в островной задаче. В общем случае пространство-время не имеет никаких симметрий, а значит нет и законов сохранения. В реальности астрофизические объекты только приближенно островные, в этом случае и законы сохранения приближенные. А насчет пользы, это индивидуально.

[KVV]

Update: поправил скрипт так, что глюк теперь обходится.

Скрипт в Maple

[schekn]

Утундрий в сообщении #1464005 писал(а):

Давайте отвлечёмся от конкретики. В чём вообще может заключаться смысл и польза закона сохранения в ОТО?

Хотелось бы, чтобы теория была в целом непротиворечива и однозначна.
И физические результаты не зависели бы от выбора плоского "фона".
Автор темы похоже наткнулся на то же, на что и я пару лет назад, когда
я одной теме пытался фон строго привязать к метрике в ОТО.
Я не увидел у Петрова А.Н. какого-то строгого мехнизма выделения фоновой метрики.

[Утундрий]

Вопрос, что вы собираетесь сохранять. Как обычно, интегралы от чего-то там по пространственно-подобным гиперповерхностям?

[bayak]

Утундрий в сообщении #1464062 писал(а):

Вопрос, что вы собираетесь сохранять. Как обычно, интегралы от чего-то там по пространственно-подобным гиперповерхностям?

А почему бы не поработать со свето-подобной поверхностью. Если изотропную поверхность компактифицировать в $S^2 \times S^1$ (а это возможно, причём, с сохранением метрики простанства-времени), то площадь поверхности компактифицированного изотропного конуса можно было бы связать с плотностью гравитационной энергиии пространства-времени.

[Утундрий]

bayak
Мне хотелось бы уяснить предел чаяний конкретно взятых schekn и KVV, а поработать-то можно вообще с чем угодно.

[schekn]

Утундрий в сообщении #1464080 писал(а):

Мне хотелось бы уяснить предел чаяний конкретно взятых schekn

Я уже говорил, что приверженец полевой биметрической теории и там нет проблем с законами сохранения.
А требовать от ОТО того же нельзя в принципе. Надо с этим жить. Правда Epros высказал мнение,
что тогда в ОТО можно построить вечный двигатель. Жаль , что мы не закончили с вселенной Гёделя ( я туплю),
может там можно было это сделать.