Проверьте пожалуйста доказательство
Пусть

и

подмножества

. Если существуют два открытые множества

и

, такие что

,

и

, то множества

и

отделимы.
Для начала докажем, что непересекающиеся открытые множества отделимы. Допустим обратное, т.е.

и

неразделимы. Это означает, что существует

(или наоборот). Тогда точка

лежит вместе с какой-то своей окресностью в

. По предположению точка

является предельной точкой

. Это значит существует сходящаяся к

последовательность

такая, что для любого

верно

. Но начиная с какого-то момента все члены этой поледовательности должны лежать в

, что значит

. Противоречие.
Докажем, что подмножества отделимых множеств отделимы. Достаточно доказать, что из

следует

. Для любой предельной точки

существует сходящаяся к ней последовательность

, такая что для любого

верно

, что значит, что предельные точки множества

являются предельными точками множества

. Что и требовалось.