Отделимые множества

[bubu gaga]

Проверьте пожалуйста доказательство

Пусть $A$ и $B$ подмножества $\mathbb{R}$. Если существуют два открытые множества $U$ и $V$, такие что $A \subseteq U$, $B \subseteq V$ и $U \cap V = \varnothing$, то множества $A$ и $B$ отделимы.

Для начала докажем, что непересекающиеся открытые множества отделимы. Допустим обратное, т.е. $U$ и $V$ неразделимы. Это означает, что существует $u \in U \cap \bar{V}$ (или наоборот). Тогда точка $u$ лежит вместе с какой-то своей окресностью в $U$. По предположению точка $u$ является предельной точкой $V$. Это значит существует сходящаяся к $u$ последовательность $(v_n)$ такая, что для любого $n$ верно $v_n \in V$. Но начиная с какого-то момента все члены этой поледовательности должны лежать в $U$, что значит $U \cap V \ne \varnothing$. Противоречие.

Докажем, что подмножества отделимых множеств отделимы. Достаточно доказать, что из $X \subseteq Y$ следует $\bar{X} \subseteq \bar{Y}$. Для любой предельной точки $x$ существует сходящаяся к ней последовательность $(x_n)$, такая что для любого $n$ верно $x_n \in X \subseteq Y$, что значит, что предельные точки множества $X$ являются предельными точками множества $Y$. Что и требовалось.

[Cellarius]

Если уточнить, что имеются в виду последовательности по направленному множеству (направленности), то всё, вроде бы, верно.

[Профессор Снэйп]

Что-то ерунда какая-то.

У Вас что, каждое из множеств $A$, $B$ является несвязанным само по себе. Но это же бред!

Общепринятая терминология такая. Множество называется связным (а не "связанным"!), если его нельзя разбить на два непустых непересекающихся открытых подмножества. То есть в Вашей ситуации следует говорить о несвязности множества $A \cup B$, а не о несвязности каждого из двух множеств $A$, $B$ по отдельности.

Ну и в свете этого давайте смотреть, что Вы излагаете далее. Во втором абзаце Вы, вероятно, хотели сказать, что объединение двух открытых непустых непересекающихся множеств связным не будет. Но это совсем очевидно, прямо из определения. А то, что там реально написано --- полный бред, которому трудно придать какой-то разумный смысл.

В третьем абзаце сказано, что всякое подмножество несвязного множество несвязно. Это просто неверно

Короче... не знаю даже, что ещё добавить к уже написанному.

[bubu gaga]

Я чувствую Вашу боль. Извиняюсь за неверный перевод (задача и англоязычного учебника и я совсем не математик, чтобы квалифицированно переводить)

separated - разделимые?
disconneced - несвязные

Теперь по делу. Определение: два множества $A$ и $B$ разделимы если $A \cap \bar{B} = \varnothing$ и $\bar{A} \cap B$. Множество $E \subset \mathbb{R}$ несвязно, если его можно разбить на два разделимых множества. Ни слова про открытые непересекающиеся множества.

[Профессор Снэйп]

separated --- отделимые.

Чёрточка сверху у Вас что обозначает: дополнение или замыкание?

[Cellarius]

"Чёрточка сверху" - замыкание. А то, что "несвязанные" в данном случае нужно переводить как "отделимые", вообще говоря, ясно из контекста.

[bubu gaga]

Cellarius писал(а):

ясно из контекста.

Видимо проще импульсивно написать три абзаца, чем переспросить, что именно имелось в виду.

[id]

bubu gaga
Немножко непонятно, зачем нужна такая длинная последовательность рассуждений, чтобы доказать отделимость этих множеств...

Если существуют открытые дизъюнктные множества $U,V: A \subseteq U ,B \subseteq V$, то тогда дополнение $U$ будет замкнутым множеством, содержащим $B$, т.е. содержащим замыкание $B$.

[bubu gaga]

id И в самом деле значительно проще, спасибо!

[Dan B-Yallay]

bubu gaga писал(а):

separated - разделимые?
disconneced - несвязные

Поправка:

separated - означает разделенные
Разделимые - separable.