Как определить, что время течет вспять в модели Гёделя

[schekn]

Поскольку сегодня 28 апреля день рождения Курта Гёделя, хотелось бы еще раз вспомнить его решение
вращающейся вселенной и прояснить некоторые неясности.
Вот здесь его статья:
https://journals.aps.org/rmp/pdf/10.110 ... hys.21.447

Где он получил такую геометрию вселенной:

$$ds^2=4a^2(dt^2-dr^2-dz^2+(\sh^4{r}-\sh^2{r})d{\varphi}^2+2\sqrt{2}{\sh}^2{r}d{\varphi}dt)$$

Фактически у него вся область разбита на 2 части, при $r>r_c$ член $d{\varphi}^2$ положительный
и замкнутая кривая $r=R, z=0 , t=-{\alpha}{\varphi}$ является всюду времениподобной ($ds^2>0$) при малом $\alpha$, что нарушает причинность.

$r_c=\ln(1+\sqrt{2})$

При этом Гёдель доказывает, что точка с координатами $\varphi=0$ и $\varphi=2\pi$ одна и та же.
Если считать эту внешнюю область нефизической, то и парадоксов не возникает -
во внутренней области ($r<r_c$) все вроде благополучно.
Но если пытаться проверить данную модель, то правильно ли я рассуждаю, можно увидеть, как
время идет вспять у собрата, который двигается по данной круговой петле: $t=-{\alpha}{\varphi}$
с точки зрения наблюдателя, который находится в точке $r=0, z=0$ ?
Можно например посылать сигналы от движущегося собрата к наблюдателю в центре,
но будет ли он видеть временной парадокс движения времени вспять?
Вроде ничего не противоречит посылать сигнал по радиусу при фиксированном угле.
Если бы был запрет на прохождение сигнала через поверхность $r=r_c$,
то и парадокса бы не было, но я такого запрета найти не могу.

[Утундрий]

Цитата:

Как определить, что время течет вспять в модели Гёделя

В рамках ОТО выражения "время течёт вспять" или "время и пространство меняются местами" - бессмысленны.

Кстати, я бы советовал брать метрику Гёльдера в её ископаемом виде

$$ds^2 = \left( {dt + e^x dz} \right)^2 - dx^2 - dy^2 - & \frac{1} {2}\left( {e^x dz} \right)^2 $$

где не возникает проблем с трактовкой "физического смысла" буквочек $t,~x,~y$ и $z$. (Каковая трактовка тоже совершенно бессмысленна, но похоже неистребима).

[schekn]

Утундрий в сообщении #1458538 писал(а):

В рамках ОТО выражения "время течёт вспять..."

Ну в его статье это отображено несколько по-другому.
На времени подобной есть причина - точка P и следствие - точка Q. И они имеют смысл, но если времени подобная замкнута, то этот смысл как раз теряется. Причина и следствие перепутываются. Я думаю можно для некого природного явления , проистекающего во времени, выделить причину и следствие. Я в данном случае просто взял старение человека. Насколько я могу интуитивно понять в примере, который изложил, свет от предыдущего события P дойдет до "центрального " наблюдателя позже, чем от последующего Q. Но так ли? И как это проверить?

Утундрий в сообщении #1458538 писал(а):

Кстати, я бы советовал брать метрику Гёделя в её ископаемом виде

$$ds^2 = \left( {dt + e^x dz} \right)^2 - dx^2 - dy^2 - & \frac{1} {2}\left( {e^x dz} \right)^2 $$

где

Здесь не так наглядно видно , как построить замкнутую кривую и еще времениподобную.
В других подобных решениях, со вращающемся цилиндром или нитью, решения также записываются в цилиндрических координатах, чтобы
возникла циклическая координата $\varphi$.

[schekn]

Утундрий в сообщении #1458538 писал(а):

я бы советовал

Будь по вашему. Мне тут приснилась задача похожего плана.
Пусть путешественник двигается вдоль оси $0Z$ из точки $z_1$ в $z_2$ и обратно и при этом передает сигнал, а наблюдатель принимает сигнал в точке $z=0$ , координаты остальные $x=y=0$ .
Тогда уравнения изотропных:

$$ds^2=0=(dt+dz)^2-\frac{1}{2}dz^2 \quad(1)$$

Имеет два решения:

$$z=-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}t+C_1 \quad(2)$$

$$z=-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}t+C_2 \quad(3)$$

А вот дальше я чего-то застрял. Оба подходят.

[Утундрий]

Повторите рассуждения в пространстве Минковского, получится то же самое.

[schekn]

Утундрий в сообщении #1458805 писал(а):

Повторите рассуждения в пространстве Минковского, получится то же самое.

И что Вы предлагаете?

[Утундрий]

schekn в сообщении #1459019 писал(а):

И что Вы предлагаете?

Смотря в чём состоит вопрос.

[schekn]

Утундрий в сообщении #1459027 писал(а):

schekn в сообщении #1459019 писал(а):

И что Вы предлагаете?

Смотря в чём состоит вопрос.

В Минковском вы не можете нарисовать замкнутую времениподобную кривую, потому что будут участки, где скорость путешественника будет превышать скорость света. А здесь получается можно нарисовать замкнутую петлю , где локально его мировая линия не выйдет за конус причинности.
Я хочу понять, как это будет выглядеть реально и как это проверить. Для этого можно совершить два действия - например путешественнику отправить сигнал далекому наблюдателю с фотографией листка бумаги с формулами, а затем в другой момент времени его сжечь и снова отправить фото. Собственно вопрос , можно ли увидеть этот процесс наоборот. Или вообще, что значит замкнутая временная петля?

[Утундрий]

Это самое и значит. Локально путешественник по гёделиане живёт всё время в будущее (причем, ровно в то самое будущее, куда живёт направление увеличения буквицы "тэ"), а глобально получается, что к моменту возвращения его же в себя же, возвращение это происходит со стороны локального его прошлого.

P.S. Добавил п р и м е р.

[schekn]

Утундрий в сообщении #1459153 писал(а):

Локально путешественник по гёделиане живёт всё время в будущее (причем, ровно в то самое будущее, куда живёт направление увеличения буквицы "тэ"), а глобально получается, что к моменту возвращения его же в себя же, возвращение это происходит со стороны локального его прошлого.

Эту загадочную фразу я не одолел. Вот непонятно . Нельзя ли разжевать.
У вас в примере, я так понимаю, время $t$ уходит в минус именно на третьем участке квадрата.
Мне кажется в цилиндрических координатах все таки нагляднее.
Но вопрос в сущности остался. Сам путешественник не увидит физические процессы вспять.
У него собственное время $s$ идет всегда в сторону увеличения.
А вот сторонний наблюдатель?

[Утундрий]

schekn в сообщении #1459442 писал(а):

примере, я так понимаю, время $t$ уходит в минус именно на третьем участке квадрата.

Да, и это центральный момент для понимания всей конструкции.

schekn в сообщении #1459442 писал(а):

Мне кажется в цилиндрических координатах все таки нагляднее.

Мне так не кажется.

schekn в сообщении #1459442 писал(а):

А вот сторонний наблюдатель?

Стоит в стороне и наблюдает.

[schekn]

Утундрий в сообщении #1459448 писал(а):

Стоит в стороне и наблюдает.

Так вот мне интересно больше всего, что он наблюдает?

[Утундрий]

schekn в сообщении #1459450 писал(а):

мне интересно больше всего, что он наблюдает?

Очевидно, для этого нужно построить изотропные геодезические. Займётесь?

[schekn]

Утундрий в сообщении #1459452 писал(а):

Очевидно, для этого нужно построить изотропные геодезические. Займётесь?

Я пытался для простого случая , но сразу оказался в тупике. Какую изотропную из двух брать? Надо тогда честно расписать все
геодезические . Чтобы понять улетную и прилетную . А все таки просто вдоль оси $Z$ двигаться туда-сюда не получается парадокс?

[Утундрий]

schekn в сообщении #1459456 писал(а):

Надо тогда честно расписать все геодезические

Вот как раз в гёльдеровских "квазидекартовых" координатах это делается очень просто.