Разложение дроби на простейшие

[nnosipov]

novichok2018 в сообщении #1459112 писал(а):

На самом деле достаточно разложить явно чуть более простую дробь с единичным числителем:

$$ \frac{1}{k^n (1+k)^n}. $$

А чего мелочиться? Можно, наверное, и с произвольными показателями: $1/k^n/(1+k)^m$. Вот эта задача

nnosipov в сообщении #1458936 писал(а):

Upd. См. задачу 584 в "Сборнике задач по высшей алгебре" Фаддеева и Соминского (М., 1977).

фактически об этом.

[Vince Diesel]

novichok2018 в сообщении #1458987 писал(а):

Такое как-то выводится, или это только магией?

У меня нет доказательства. Подобрано с помощью программы математика.

[novichok2018]

nnosipov - спасибо за ссылку, действительно из указанной задачи можно получить решение для более общей задачи с разными степенями в числителе. Осталось сообразить, как доказать формулу из ответа к этой задаче, или , что более сложно, как не подглядывая в неё эту формулу вывести.

[nnosipov]

novichok2018 в сообщении #1459145 писал(а):

Осталось сообразить, как ...

Это задача со звездочкой, но в этом классическом задачнике это означает, что к задаче имеется указание Я заглянул, там ничего особенно хитрого: берем производные и т.д. Собственно, как и было рекомендовано выше.

[vorvalm]

novichok2018 в сообщении #1458903 писал(а):

Можно в явном виде разложить такую дробь на простейшие

$$ \frac{2k+1}{(k+1)^n\, k^n},\ \ n\in \mathbb{N}, $$

?

$$\frac{2k+1}{(k+1)^n\, k^n}=\frac 1 {(k+1)^{n-1}\,k^n}+\frac 1 {(k+1)^n\,k^{n-1}}=\frac A {(k+1)^{n-1}} -\frac B {k^n}+\frac C {k^{n-1}}-\frac D {(k+1)^{n}}$$

[nnosipov]

vorvalm
Разложение такого вида не найдется --- слишком мало коэффициентов. (Если, конечно, под $A$, $B$ и т.д. Вы не подразумеваете какие-то многочлены от $k$.)

[vorvalm]

$$\frac {11}{(6^3)(5^3)} = \frac {17} {36} - \frac{59}{125}+\frac {11} {25} - \frac {95} {216}$$

[nnosipov]

Ну да, Ваши коэффициенты зависят от $k$. А в разложении на простейшие дроби должны быть именно константы (величины, не зависящие от переменной).

[vorvalm]

Т.е. вы хотите сказать, что предложенное разложение не является элементарным ?

[nnosipov]

vorvalm
Я хочу сказать, что разложение на простейшие дроби --- это четко определенная задача в алгебре. Именно ее ТС имеет в виду, а не просто какое-то представление исходной дроби в виде суммы других дробей.

[vorvalm]

Интересно, в формуле у ТС $ k$ является константой ?

[nnosipov]

Переменной, не константой. По крайней мере, так все поняли.

[vorvalm]

Пришлось заглянуть к Фихтенгольцу.
У него коэффициенты А, В, ... простых дробей определяются таким же образом.

[vorvalm]

Если ТС имел в виду

$$y=\frac {2x+1}{(x+1)^n\,x^n}$$

то в разложении на простые дроби будем иметь сумму дробей всех степеней $(x+1)$ и $ x$
от 1 до $n$,