2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Разложение дроби на простейшие
Сообщение30.04.2020, 09:37 
Заслуженный участник


20/12/10
9062
novichok2018 в сообщении #1459112 писал(а):
На самом деле достаточно разложить явно чуть более простую дробь с единичным числителем:
$$
\frac{1}{k^n (1+k)^n}.
$$
А чего мелочиться? Можно, наверное, и с произвольными показателями: $1/k^n/(1+k)^m$. Вот эта задача
nnosipov в сообщении #1458936 писал(а):
Upd. См. задачу 584 в "Сборнике задач по высшей алгебре" Фаддеева и Соминского (М., 1977).
фактически об этом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение дроби на простейшие
Сообщение30.04.2020, 10:43 
Заслуженный участник


25/02/11
1797
novichok2018 в сообщении #1458987 писал(а):
Такое как-то выводится, или это только магией?

У меня нет доказательства. Подобрано с помощью программы математика.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение дроби на простейшие
Сообщение30.04.2020, 12:15 
Заблокирован


16/04/18

1129
nnosipov - спасибо за ссылку, действительно из указанной задачи можно получить решение для более общей задачи с разными степенями в числителе. Осталось сообразить, как доказать формулу из ответа к этой задаче, или , что более сложно, как не подглядывая в неё эту формулу вывести.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение дроби на простейшие
Сообщение30.04.2020, 14:33 
Заслуженный участник


20/12/10
9062
novichok2018 в сообщении #1459145 писал(а):
Осталось сообразить, как ...
Это задача со звездочкой, но в этом классическом задачнике это означает, что к задаче имеется указание :-) Я заглянул, там ничего особенно хитрого: берем производные и т.д. Собственно, как и было рекомендовано выше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение дроби на простейшие
Сообщение01.05.2020, 11:47 


31/12/10
1555
novichok2018 в сообщении #1458903 писал(а):
Можно в явном виде разложить такую дробь на простейшие
$$
\frac{2k+1}{(k+1)^n\, k^n},\ \  n\in \mathbb{N},
$$
?


$$\frac{2k+1}{(k+1)^n\, k^n}=\frac 1 {(k+1)^{n-1}\,k^n}+\frac 1 {(k+1)^n\,k^{n-1}}=\frac A {(k+1)^{n-1}} -\frac B {k^n}+\frac C {k^{n-1}}-\frac D {(k+1)^{n}}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение дроби на простейшие
Сообщение01.05.2020, 11:55 
Заслуженный участник


20/12/10
9062
vorvalm
Разложение такого вида не найдется --- слишком мало коэффициентов. (Если, конечно, под $A$, $B$ и т.д. Вы не подразумеваете какие-то многочлены от $k$.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение дроби на простейшие
Сообщение01.05.2020, 12:27 


31/12/10
1555
$$\frac {11}{(6^3)(5^3)} = \frac {17} {36} - \frac{59}{125}+\frac {11} {25} - \frac {95} {216}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение дроби на простейшие
Сообщение01.05.2020, 12:36 
Заслуженный участник


20/12/10
9062
Ну да, Ваши коэффициенты зависят от $k$. А в разложении на простейшие дроби должны быть именно константы (величины, не зависящие от переменной).

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение дроби на простейшие
Сообщение01.05.2020, 12:46 


31/12/10
1555
Т.е. вы хотите сказать, что предложенное разложение не является элементарным ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение дроби на простейшие
Сообщение01.05.2020, 12:53 
Заслуженный участник


20/12/10
9062
vorvalm
Я хочу сказать, что разложение на простейшие дроби --- это четко определенная задача в алгебре. Именно ее ТС имеет в виду, а не просто какое-то представление исходной дроби в виде суммы других дробей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение дроби на простейшие
Сообщение01.05.2020, 13:03 


31/12/10
1555
Интересно, в формуле у ТС $ k$ является константой ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение дроби на простейшие
Сообщение01.05.2020, 13:07 
Заслуженный участник


20/12/10
9062
Переменной, не константой. По крайней мере, так все поняли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение дроби на простейшие
Сообщение01.05.2020, 13:55 


31/12/10
1555
Пришлось заглянуть к Фихтенгольцу.
У него коэффициенты А, В, ... простых дробей определяются таким же образом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение дроби на простейшие
Сообщение01.05.2020, 17:41 


31/12/10
1555
Если ТС имел в виду

$$y=\frac {2x+1}{(x+1)^n\,x^n}$$

то в разложении на простые дроби будем иметь сумму дробей всех степеней $(x+1)$ и $ x$
от 1 до $n$,

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 29 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group