Формальная математика, образы и слова.

[Апис]

ОБРАЗЫ И СЛОВА В МАТЕМАТИКЕ
Мы мыслим образами, образы не обязательно зрительные. Образ, это идеальное отражение мира в нашем сознании, изменённое сознание не рассматриваем.
Что есть наш мир? Это объекты и взаимодействия между объектами. Математика начиналась с аналогий между числами и объектами мира. Взаимодействие между объектами и взаимодействия между числами не отличались друг от друга, (сложить, отнять). По мере развития математики, она всё более становится абстрактной, связь между математикой и миром уже приходится доказывать, объяснять. И как апофеоз абстракции, математики начали размышлять словами. Отсюда формальная математика.

Но, прежде всего, определим те столпы, на которых держится формальная математика. То есть те понятия, которые уже в работе, но которые вообразить мы не можем. Не имеющие образа, это: Ноль. Бесконечность. Многомерность. При желании список можно дополнить.
Почему они уже в работе, какая в этом необходимость?

[вздымщик Цыпа]

Апис в сообщении #143729 писал(а):

Речь идет о знаменитой теореме Геделя о неполноте. Наиболее распространенная, хотя и не вполне строгая ее формулировка утверждает, что «для любой непротиворечивой системы аксиом существует утверждение, которое в рамках принятой аксиоматической системы не может быть ни доказано, ни опровергнуто».

Популяризаторы постоянно забывают упомянуть, что это касается только теорий, содержащих арифметику. И «не вполне строгость» -- негодная отмазка, ведь исчисление предикатов первого порядка полно и непротиворечиво.

Апис в сообщении #143729 писал(а):

Но это ещё полбеды, в теории множеств, произошла подмена, слово бесконечность (прошу заметить слово, а не образ) заменили, на слово множество. Бесконечность, это когда число элементов нельзя сосчитать, их несчётное количество. Множество (В определении множества ничего не говорится о количестве элементов), то есть им нет счёта, значит элементов несчётное количество. Отсюда можно утверждать множество и бесконечность, это одно и то же.

Слово «множество» означает ровно то, что оно означает, а вовсе не то, что может показаться тому, кто первый раз его встретил в математическом тексте. «И было их великое множество» -- это совсем о другом.

Апис в сообщении #143729 писал(а):

И началась игра слов: будет ли множество всех множеств, не являющихся своими элементами, своим элементом? Переведём: будет ли бесконечность, всех бесконечностей, не являющихся своими элементами, своим элементом?

Отличный перевод. Переведите пожалуйста «пустое множество» и «множество одноэлементных подмножеств данного множества», а то что-то непонятно о чем это они.

Апис в сообщении #143729 писал(а):

Я не против формальной математики, но её использование должно быть продуманно с точки зрения соответствия нашему миру, нашему мышлению образами, а не словами.

Я не против денег, но их использование должно быть продумано так, чтоб они все были мои.

[ewert]

Апис в сообщении #143729 писал(а):

Но это ещё полбеды, в теории множеств, произошла подмена, слово бесконечность (прошу заметить слово, а не образ) заменили, на слово множество. Бесконечность, это когда число элементов нельзя сосчитать, их несчётное количество. Множество (В определении множества ничего не говорится о количестве элементов), то есть им нет счёта, значит элементов несчётное количество. Отсюда можно утверждать множество и бесконечность, это одно и то же.

Цитата:

– Чем ворон похож на конторку? – спросил он, наконец.
– Так-то лучше, – подумала Алиса. – Загадки – это гораздо веселее…
– По-моему, это я могу отгадать, – сказала она вслух.
– Ты хочешь сказать, что думаешь, будто знаешь ответ на эту загадку? – спросил Мартовский Заяц.
– Совершенно верно, – согласилась Алиса.
– Так бы и сказала, – заметил Мартовский Заяц. – Нужно всегда говорить то, что думаешь.
– Я так и делаю, – поспешила объяснить Алиса. – По крайней мере… По крайней мере я всегда думаю то, что говорю… а это одно и то же…
– Совсем не одно и то же, – возразил Болванщик. – Так ты еще чего доброго скажешь, будто «Я вижу то, что ем» и «Я ем то, что вижу», – одно и то же!
– Так ты еще скажешь, будто «Что имею, то люблю» и «Что люблю, то имею», – одно и то же! – подхватил Мартовский Заяц.
– Так ты еще скажешь, – проговорила, не открывая глаз, Соня, – будто «Я дышу, пока сплю» и «Я сплю, пока дышу», – одно и то же!

$\copyright$

[вздымщик Цыпа]

Апис в сообщении #143729 писал(а):

Но, прежде всего, определим те столпы, на которых держится формальная математика. То есть те понятия, которые уже в работе, но которые вообразить мы не можем. Не имеющие образа, это: Ноль. Бесконечность. Многомерность.

А в чем проблема вообразить ноль? Вот наверняка же Вы можете вообразить яблоко. Причем приблизительно так:
«яблоко оно такое круглое, и еще оно красное. А если его надкусить, то будет вкусно».
Верно ведь? Ноль замечательно воображается аналогично:
«ноль он такой $x + 0 = x$, и еще он $x\cdot0 = 0$. А если $x \to +0$, то $\frac1 x \to +\infty$».
Также и с бесконечностью и с многомерностью. Кстати, формальная математика держится вовсе не на этом.

[bot]

вздымщик Цыпа в сообщении #143930 писал(а):

Популяризаторы постоянно забывают упомянуть, что это касается только теорий, содержащих арифметику.

Наверно, чтобы не привлекать внимание ещё и тех, кто завершил свои познания математики именно на уровне учебника арифметики для начальной школы.

[Профессор Снэйп]

вздымщик Цыпа писал(а):

Популяризаторы постоянно забывают упомянуть, что это касается только теорий, содержащих арифметику. И «не вполне строгость» -- негодная отмазка, ведь исчисление предикатов первого порядка полно и непротиворечиво.

Исчисление предикатов первого порядка полно не в том смысле, в каком "полнота" понималась выше. В том смысле оно неполно

А "забывают" популяризаторы не только о том, что теория должна "содержать" арифметику, но и о том, что она должна быть эффективно перечислимо аксиоматизируемой. Да ну какой с них спрос?

[epros]

вздымщик Цыпа писал(а):

Апис в сообщении #143729 писал(а):

Речь идет о знаменитой теореме Геделя о неполноте. Наиболее распространенная, хотя и не вполне строгая ее формулировка утверждает, что «для любой непротиворечивой системы аксиом существует утверждение, которое в рамках принятой аксиоматической системы не может быть ни доказано, ни опровергнуто».

Популяризаторы постоянно забывают упомянуть, что это касается только теорий, содержащих арифметику. И «не вполне строгость» -- негодная отмазка, ведь исчисление предикатов первого порядка полно и непротиворечиво.

Забывают. Что верно, то верно. Но и слишком акцентировать внимание на полноте и непротиворечивости некоторых теорий, НЕ содержащих арифметику, тоже не дело. Ибо теории без арифметики как правило малосодержательны, а потому сами по себе малоинтересны.

[bot]

epros в сообщении #144026 писал(а):

Ибо теории без арифметики как правило малосодержательны

Например, теории групп, колец ...
А уж универсальную алгебру, к которой причисляют, опять же к примеру, теорию решёток и вовсе на свалку!

Добавлено спустя 4 минуты 20 секунд:

Опять же вопрос о полноте и непротиворечивости можно ставить для разных теорий. В некоторых из них всякая непротиворечивая теория пополняема (эквациональная к примеру или квазиэквациональная) - это тогда малосодержательная теория?

[epros]

bot писал(а):

epros в сообщении #144026 писал(а):

Ибо теории без арифметики как правило малосодержательны

Например, теории групп, колец ...
А уж универсальную алгебру, к которой причисляют, опять же к примеру, теорию решёток и вовсе на свалку!

Про свалку я ничего не говорил

Да и вообще, что Вам так эта полнота далась? Меня, например, неполнота формальной арифметики нисколько не беспокоит...

[bot]

epros в сообщении #144045 писал(а):

Да и вообще, что Вам так эта полнота далась

Да приходилось заниматься. Континуумы полных эквациональных теорий строил ...

epros в сообщении #144045 писал(а):

Меня, например, неполнота формальной арифметики нисколько не беспокоит...

Меня тоже.

[Апис]

Цитата:

Да и вообще, что Вам так эта полнота далась? Меня, например, неполнота формальной арифметики нисколько не беспокоит...

Нашли чем хвастать.

Теория множеств придумана для того, что бы обеспечить работой математиков.

Опровергните, только без спеси и злобы образованщины.

[Профессор Снэйп]

Апис писал(а):

Теория множеств придумана для того, что бы обеспечить работой математиков.

Опровергните, только без спеси и злобы образованщины.

Хм Прочитайте мою подпись.

[Someone]

Апис в сообщении #145934 писал(а):

Теория множеств придумана для того, что бы обеспечить работой математиков.

А что, без теории множеств математикам было нечем заняться? Подавляющее число математиков о теории множеств "слышали" (в том смысле, что вкратце знакомы с основными положениями), но никаких задач из теории множеств не решают. У них своих задач выше головы.

[Апис]

Цитата:

А что, без теории множеств математикам было нечем заняться? Подавляющее число математиков о теории множеств "слышали" (в том смысле, что вкратце знакомы с основными положениями), но никаких задач из теории множеств не решают. У них своих задач выше головы.

В предложении: «Теория множеств, придумана для обеспечения работой математиков», ключевое слово – придумана. Придумана, значит, создана искусственно. Я просил вас опровергнуть это. Показать, что теория множеств вытекает из нерешенных проблем, или как-то выведена из предшествующих работ.
Раз опровержения не предоставлено, смотрите, что получается.
Зарождение формальной теории.
Первое - мы мыслим образами.
Второе, лишаем образы всех их свойств, остаются одни объекты (элементы).
Далее избавляемся, всё это в уме конечно, от всех связей, взаимосвязей между объектами. К совокупности объектов (элементов) нельзя прибавить или отнять ну хотя бы один объект, единицу.
Имеем множество, которое, лишившись взаимосвязей между элементами, заодно лишилось и внешних границ. То есть, имеем множество, без указания количества элементов. Готова формальная основа для разработки теории множеств. Ну чем формальная основа не бесконечность.
Переход образного мышления к математическому мышлению, всего лишь упрощение. А математическое мышление, взгляд на выхолощенный мир.

[Henrylee]

Апис писал(а):

Придумана, значит, создана искусственно.

А "естественно" это как по-Вашему? Натуральные числа были созданы естественно"? Для чего?

Апис писал(а):

Зарождение формальной теории.
Первое - мы мыслим образами.
Второе, лишаем образы всех их свойств, остаются одни объекты (элементы).
Далее избавляемся, всё это в уме конечно, от всех связей, взаимосвязей между объектами. К совокупности объектов (элементов) нельзя прибавить или отнять ну хотя бы один объект, единицу.
Имеем множество, которое, лишившись взаимосвязей между элементами, заодно лишилось и внешних границ.

Как Вы понимаете "внешнюю границу"?

Апис писал(а):

То есть, имеем множество, без указания количества элементов. Готова формальная основа для разработки теории множеств. Ну чем формальная основа не бесконечность.

А чем она "бесконечность"?

Апис писал(а):

Переход образного мышления к математическому мышлению, всего лишь упрощение. А математическое мышление, взгляд на выхолощенный мир.

Это не упрощение, а формализация. Без формализации у нас не будет науки, будет (в лучшем случае) искусство. Может быть Ваше мат. мышление это взгляд на выхолощенный мир, а вот мое - напротив