Про матрицы с элементами разных размерностей

[arseniiv]

Помнится, было здесь немного обсуждений там и сям про матрицы с элементами, у которых разные размерности — насколько они корректны и естественны, можно ли их себе позволять или греховно это. Несколько дней назад я понял, что с этим всё просто и легко; может, кому-то будет интересно и найдётся что обсудить, не знаю.

Во-первых, как я где-то с полгода-год назад узнал, матрицы* появляются в любой полуаддитивной категории, а именно такой, где есть для всякого конечного набора объектов biproduct $\oplus$ — «одновременно и произведение, и копроизведение» (но строго говоря нельзя говорить «одновременно», нужно наложить связи на их оба, потому что определены они с точностью до изоморфизма). Когда он есть, любой морфизм $f\colon A^1\oplus\ldots\oplus A^n\to B_1\oplus\ldots\oplus B_m$ задаёт матрицу морфизмов $f^i_j\colon A^i\to B_j$, и однозначно задаётся ею. (Это не совсем привычная матрица в том смысле, что для модуля она будет матрицей, в которой скаляры в общем случае только на диагонали, потому что, как вы знаете, в пространство произвольных линейных отображений скаляры естественно не инъектируются.) Кроме различных категорий модулей, векторных пространств, абелевых колец такова ещё например категория отношений (где объекты — множества, морфизмы — отношения, а $\oplus$ — дизъюнктное объединение).

* Не те, которые по происхождению являются функциями на \small $\mathbb Z^n$ или её факторе, и подлежат например фурьению, то есть у них порядок строк и столбцов обязателен.

Композиция морфизмов рождает обычное умножение матриц, а бипроизведение позволяет определить для $f, g\colon A\to B$ сложение

$$f + g\colon \xymatrix{A \ar[rr]^-{(\mathrm{id}_A,\mathrm{id}_A)} && A\oplus A \ar[r]^{f\oplus g} & B\oplus B \ar[rr]^-{[\mathrm{id}_B,\mathrm{id}_B]} && B},$$

ну и плюс между любыми объектами аналогично есть нулевой морфизм. Тождественный морфизм $\mathrm{id}_{A_1\oplus\ldots\oplus A_n}$ имеет единичную матрицу.

Так вот, вооружившись знанием глубины явления, представим, что у нас есть модули $V_1, V_2, W_1, W_2$, элементам которых сопоставлены размерности $[V_1], [V_2], [W_1], [W_2]$. Модулю $V_1\oplus V_2$ никакая размерность (по крайней мере из традиционного аппарата размерностей) не сопоставится, если $[V_1]\ne[V_2]$. Линейному отображению $V_1\to W_1$ сопоставится размерность $[V_1]^{-1}[W_1]$. Взяв теперь линейное отображение $V_1\oplus V_2\to W_1\oplus W_2$ и разложив его в сумму отображений $V_i\to W_j$, мы получим матрицу с элементами разных размерностей, но притом не каких попало, а удовлетворяющих понятному ограничению — «матрица размерностей» должна получаться тензорным произведением некоторого столбца на некоторую строку, короче должна иметь ранг 1. (Это тоже можно будет сформулировать в каких-нибудь общих терминах, но сам аппарат размерностей достаточно прикладной, так что наверно это никому уже не будет интересным.)

Вопрос: могут ли в физике (и т. п.) вообще попадаться пространства вида $V_1\oplus V_2$ и линейные операторы на них? Могут, см. например случай преобразований Галилея (для преобразований Лоренца всё-таки уже вменяемее перейти к размерности интервала и не морочить себе голову, а тут никакой размерности интервала нет, длина и время по отдельности).

-- Чт апр 30, 2020 21:09:58 --

(Хм, сверху я использовал верхние индексы для «пространств-аргументов», а снизу перестал, надеюсь глаз не будет мозолить.)