Помнится, было здесь немного обсуждений там и сям про матрицы с элементами, у которых разные размерности — насколько они корректны и естественны, можно ли их себе позволять или греховно это.

Несколько дней назад я понял, что с этим всё просто и легко; может, кому-то будет интересно и найдётся что обсудить, не знаю.
Во-первых, как я где-то с полгода-год назад узнал, матрицы* появляются в любой полуаддитивной категории, а именно такой, где есть для всякого конечного набора объектов biproduct

— «одновременно и произведение, и копроизведение» (но строго говоря нельзя говорить «одновременно», нужно наложить связи на их оба, потому что определены они с точностью до изоморфизма). Когда он есть, любой морфизм

задаёт матрицу морфизмов

, и однозначно задаётся ею. (Это не совсем привычная матрица в том смысле, что для модуля она будет матрицей, в которой
скаляры в общем случае только на диагонали, потому что, как вы знаете, в пространство произвольных линейных отображений скаляры естественно не инъектируются.) Кроме различных категорий модулей, векторных пространств, абелевых колец такова ещё например категория отношений (где объекты — множества, морфизмы — отношения, а

— дизъюнктное объединение).
* Не те, которые по происхождению являются функциями на
или её факторе, и подлежат например фурьению, то есть у них порядок строк и столбцов обязателен.Композиция морфизмов рождает обычное умножение матриц, а бипроизведение позволяет определить для

сложение
![$$f + g\colon \xymatrix{A \ar[rr]^-{(\mathrm{id}_A,\mathrm{id}_A)} && A\oplus A \ar[r]^{f\oplus g} & B\oplus B \ar[rr]^-{[\mathrm{id}_B,\mathrm{id}_B]} && B},$$ $$f + g\colon \xymatrix{A \ar[rr]^-{(\mathrm{id}_A,\mathrm{id}_A)} && A\oplus A \ar[r]^{f\oplus g} & B\oplus B \ar[rr]^-{[\mathrm{id}_B,\mathrm{id}_B]} && B},$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/0/9/909b43dd1fc10c58426cbf0de2a21f8082.png)
ну и плюс между любыми объектами аналогично есть нулевой морфизм. Тождественный морфизм

имеет единичную матрицу.
Так вот, вооружившись знанием глубины явления, представим, что у нас есть модули

, элементам которых сопоставлены размерности
![$[V_1], [V_2], [W_1], [W_2]$ $[V_1], [V_2], [W_1], [W_2]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/f/a/1fa275fe52ca3cc6afbf52310c37211382.png)
. Модулю

никакая размерность (по крайней мере из традиционного аппарата размерностей) не сопоставится, если
![$[V_1]\ne[V_2]$ $[V_1]\ne[V_2]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/0/a/30adb34719699af028b98911f0278df382.png)
. Линейному отображению

сопоставится размерность
![$[V_1]^{-1}[W_1]$ $[V_1]^{-1}[W_1]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/b/cbba2c06b39f01d6d9d44ac1a405a26382.png)
. Взяв теперь линейное отображение

и разложив его в сумму отображений

, мы получим матрицу с элементами разных размерностей, но притом не каких попало, а удовлетворяющих понятному ограничению — «матрица размерностей» должна получаться тензорным произведением некоторого столбца на некоторую строку, короче должна иметь ранг 1. (Это тоже можно будет сформулировать в каких-нибудь общих терминах, но сам аппарат размерностей достаточно прикладной, так что наверно это никому уже не будет интересным.)
Вопрос: могут ли в физике (и т. п.) вообще попадаться пространства вида

и линейные операторы на них? Могут, см. например случай преобразований Галилея (для преобразований Лоренца всё-таки уже вменяемее перейти к размерности интервала и не морочить себе голову, а тут никакой размерности интервала нет, длина и время по отдельности).
-- Чт апр 30, 2020 21:09:58 --(Хм, сверху я использовал верхние индексы для «пространств-аргументов», а снизу перестал, надеюсь глаз не будет мозолить.)