Следствие теоремы Ферма

[aido93]

Всем привет!

Насколько известно, доказана теорема Ферма, то есть $a^n+b^n=1$ верно для всех пар (рациональное число-иррациональное число). То есть, каждому рациональному числу можно поставить в соответствие иррациональное. Верно ли обратное высказывание? Насколько мне известно, мощность множества рациональных чисел равна нулю, а вот иррациональных равна 1. А вот мощность множества всех возможных степеней корней $(1-b^n)^{1/n}$ равна ли единице? Как я понимаю, здесь есть неопределенность вида $0\cdot\infty$

[Otta]

aido93 в сообщении #1458421 писал(а):

доказана теорема Ферма, то есть $a^n+b^n=1$ верно для всех пар (рациональное число-иррациональное число)

Ну прямо уж для всех. $a=1, b=\sqrt 2$.
Наверное, Вам хотелось сказать что-то другое.

-- 28.04.2020, 03:47 --

aido93 в сообщении #1458421 писал(а):

Как я понимаю, здесь есть неопределенность вида $0*\inf$

Нет тут никаких неопределенностей, пределов потому что нет.

[ewert]

aido93 в сообщении #1458421 писал(а):

То есть, каждому рациональному числу можно поставить в соответствие иррациональное. Верно ли обратное высказывание?

Во-первых, не "можно поставить", а "ставится". Поскольку однозначно. Во-вторых, нулю равна мощность не рациональных чисел, а пустого множества. В-третьих, соображения мощностей действительно "обратное" опровергают, но Вы комбинируете соответствующие слова бессмысленным образом.

[Someone]

aido93 в сообщении #1458421 писал(а):

Насколько мне известно, мощность множества рациональных чисел равна нулю, а вот иррациональных равна 1. А вот мощность множества всех возможных степеней корней $(1-b^n)^{1/n}$ равна ли единице?

Чаво???

[gris]

Мне кажется, что ТС имел в виду не мощность множеств рац/иррац чисел на отрезке$[0,1]$, а их известную меру. Вот пример рассуждения: Можно множество всех иррациональных чисел отрезка отобразить взаимно-однозначно в множество меры ноль и из равенства нулю же меры всех рациональных чисел попытаться сделать выводы.
Еще одно измышление: из Теоремы Ферма ТС установил, что каждое рациональное число отображается в последовательность иррациональных чисел. Но обратное неверно. Существует контрпример, когда с помощью "ферматизации" из иррационального числа нельзя получить рациональное. Это $\sqrt 2 /2$

[ewert]

Тут, кстати, есть один сравнительно содержательный момент. То, что хотя бы одному иррациональному числу сопоставляется иррациональное -- банально следует из сопоставления мощностей. А вот то, что это верно и для алгебраических иррациональных -- так просто уже не следует, требуются хоть какие-то, но дополнительные телодвижения.