Точность вычисления нулей дзета-функции Римана

[Sul]

Гипотеза Римана утверждает, что вещественная часть всех нетривиальных нулей дзета-функции Римана равна 1/2. Всюду пишут, что она численно проверена для большого количества нулей.
Я не специалист в теории чисел, но меня всегда интересовал вопрос: как можно численно убедиться в равенстве нуля (или в данном случае его вещественной части) какому-то числу? Суть численных методов, насколько я знаю, в нахождении решения с некоторой точностью. То есть, я бы понял, если бы для многих достаточно маленьких $\varepsilon$ было доказано, что такой-то нетривиальный ноль имеет вещественную часть в $\varepsilon$-окрестности 1/2. Но учитывая важность гипотезы, точное равенство в данном случае критично и не верится, что математики довольствовались бы лишь приближением, когда пишут, что гипотеза действительно подтверждена для многих нулей.

Так как же это происходит, как численно устанавливается точное равенство?

[g______d]

https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_h ... lculations

Рассматривается вспомогательная вещественнозначная функция, у которой на критической линии те же нули, что и у $\zeta(s)$, и численно ищутся её перемены знака.

[Sul]

Спасибо! Почему-то не заглянул в английскую вики

[novichok2018]

Тут была такая тема давно. Когда слышишь впервые - кажется странным, но действительно можно при помощи приближённых вычислений строго доказать , что очередной ноль на критической прямой. Для этого комбинируются простая теорема из ТФКП, приближённая формула для функции на критической прямой с известной оценкой ошибки на прямой и элементарные рассуждения.

-- 28.04.2020, 07:35 --

[vicvolf]

novichok2018 в сообщении #1458435 писал(а):

Тут была такая тема давно.

А можно ссылку?

[Padawan]

Дело в том, что нули лежат симметрично относительно прямой $\sigma=1/2$. И если нуль не лежит на критической прямой, то их там должно быть два, а это сразу видно.

[novichok2018]

Мне кажется, что симметричности мало. И откуда это следует?

[vicvolf]

novichok2018 в сообщении #1458435 писал(а):

действительно можно при помощи приближённых вычислений строго доказать , что очередной ноль на критической прямой.

Если бы это было так, то отсюда по индукции следовала бы гипотеза Римана):

[Padawan]

novichok2018 в сообщении #1458592 писал(а):

Мне кажется, что симметричности мало.

Принцип аргумента.

novichok2018 в сообщении #1458592 писал(а):

И откуда это следует?

Из функционального уравнения для дзета-функции.

[novichok2018]

vicvolf - Вы просто придираетесь к неудачно употреблённому слову "очередной". Хорошо. Возьмём произвольный прямоугольник, ограниченный двумя вертикальными сторонами $Re s=0, Re s=1$ и двумя горизонтальными сторонами. При помощи приближённых вычислений можно доказать, что если есть нуль дзеты в этом прямоугольнике, то он на самом деле лежит на критической прямой. вне её нулей нет. Доказательство строгое. Понятно, что метод имеет границы применения, для многоугольников, точнее, нулей уже далеко с большими модулями, доказывать будет труднее и труднее, с какого-то места точности не хватит. Но так по идее и доказывается, что стонадцать миллионов первых нулей лежат на критической прямой, это все знают, кто немного вопросом интересуется.
Понятно, что так можно доказать для достаточно большого конечного числа нулей,для всех сразу нельзя.

-- 28.04.2020, 21:21 --

Padawan - я не знаю про метод доказательства , что нули на прямой, с использованием указанного Вами свойства симметричности, но это ничего не значит. Где посмотреть, как эти соображения используются, немного зацепило, что "сразу видно".

[Padawan]

Не знаю как на самом деле проверяют, что нули лежат на критической прямой, но количество нулей в прямоугольнике узнать легко - это приращение аргумента функции, деленное на $2\pi$, при обходе границы прямоугольника. И если нуль окажется один, то в силу симметрии он должен лежать на $\sigma=1/2$.

-- Вт апр 28, 2020 23:43:49 --

Вот если нуля в прямоугольнике два, то не понятно, действительно это два разных нуля (это, очевидно, можно обнаружить численно, если это так ) или один нуль кратности два на критической прямой (если и можно это доказать, то уже из каких-то других соображений) . Но пока таких не наблюдалось и есть гипотеза, что их нет вообще.

[novichok2018]

Да, два приближённых факта и комбинируются. Интеграл по прямоугольнику считается приближённо, скажем с гарантированной точностью 0.1. Так как это целое число , равное числу нулей внутри (полюсов там нет), то округляем до ближайшего целого, и мы вычислили интеграл точно. Пусть получилось, что число нулей внутри ровно один, если больше - то прямоугольник надо уменьшить. Теперь рассмотрим дзету на критической прямой, существуют приближённые методы для её вычисления . Пусть мы с гарантированной точностью вычислили, что на концах отрезка критической прямой функция от действительного аргумента (мнимой части) меняет знак. Тогда на именно на ней есть ноль, и он один, других в прямоугольнике нет. Так на основании двух приближённых вычислений получается строгое утверждение. Что можно использовать симметричность - я не знал.