Доказанные частные случаи ВТФ

[ananova]

bot писал(а):

Из первых строк, дальше которых не пошёл, вроде бы понял, что автор фиксирует X < Y и пытается доказать, что ни при каких n ( >2 ? ) выражение $\sqrt[n]{X^n+Y^n}$ не может быть целым.
Для достаточно больших n, это, разумеется, верно.
.

'
Решил перечитать тему с самого начала. И решил переспросить цитируемый момент.
"достаточно большие n" - это больше чем Z? Если Z очень большое, то будет ли n - достаточно большим для очень большого Z. Я не первый раз сталкиваюсь с этим утверждением (видел у Рибенбойма на странице 383 - как (abc)-гипотеза) , поэтому решил переспросить у знатоков - что имеется ввиду под этим сравнением n - достаточно большим? Не является ли этот термин субъективным? Если нет, то он требует дополнительной оговорки.

[bot]

Для достаточно больших $n$ верно $P(n)$ - это просто сокращение фразы $\exists n_0\forall n (n>n_0 \Rightarrow P(n))$.
Обычно так говорят тогда, когда не хотят указывать $n_0$, так как его существование очевидно.
В данном случае это делается так:

Пусть $x\leqslant y$. Тогда

$$y<\sqrt[n]{x^n+y^n}=y\sqrt[n]{1+\Big(\frac{x}{y}\Big)^n}\leqslant y\sqrt[n]{2}$$

Так как $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{2}=1$, то по определению предела существует $n_0$, такое что при $n>n_0$ выполняется неравенство $y<\sqrt[n]{x^n+y^n}<y+1$,

[ananova]

С первого взгляда - убедительно.

А почему не работает при обычных n данное доказательство?
С неподготовленного взгляда, вроде как должно "работать" для любых n. Или этот самый no и может быть "решением"?

Если этот вопрос слишком сложный в рамках данной темы, то можно не отвечать.

[bot]

ananova в сообщении #145982 писал(а):

А почему не работает при обычных n данное доказательство?

А почему оно вдруг должно работать? Имея конкретные x и y, в принципе, мы можем вычислить после какого $n_0$ решений с этими фиксированными x и y не существует, а что в этом толку?
Искать явную зависимость этого $n_0$ от $x,y$ и проверять иррациональность $\sqrt[n]{x^n+y^n}$ до $n_0$?
Идея слишком тривиальна, чтобы быть плодотворной, да и не нашёл я в маловразумительном тексте автора подтверждения, что он по этому пути идёт.

[ananova]

Я правильно понял, что если n достаточно большое, то не имеют значения величины чисел x и y? Например, если x и y достаточно большие числа, то утвердждение относительно достаточно большого n справедливо?

[bot]

ananova в сообщении #146001 писал(а):

Я правильно понял, что если n достаточно большое, то не имеют значения величины чисел x и y? Например

Нет, неправильно. $\forall x\forall y\exists n_0$ - тривиально, а $\exists n_0 \forall x\forall y$ - неверно.

ananova в сообщении #146001 писал(а):

Например, если x и y достаточно большие числа, то утвердждение относительно достаточно большого n справедливо?

Теорема Ферма доказана, поэтому это верно. Достаточно большое $n$ - это $n>2$, а достаточно большие $x$ и $y$ - это $x>0$ и $y>0$.
В чём вопрос? Не вытекает ли сказанное Вами столь же просто, как и $\forall x\forall y\exists n_0$?
Ищите ...

[ananova]

bot в сообщении #146102 писал(а):

В чём вопрос?

Смущает само словосочетание - "достаточно большое" - не очень однозначный смысл оно несет. На английском языке оно тоже так передает смысловую нагрузку?

[bot]

Как, говорится, не нравится - не ешьте. Есть ведь точный смысл этого жаргонизма. Если кто-то употребит его в другом смысле, то скорее всего утверждение прозвучит подозрительно и последует вопрос.
English peaple use to say "for sufficietly large ..." in the same sence.

Добавлено спустя 7 минут 45 секунд:

P.S. Ваш вопрос здесь явно оффтопик. Если ещё есть вопросы, то лучше откройте новую тему или попросите модератора разделить тему. Поднимать эту дохлую тему ответами не хочется и больше не буду.

[ananova]

bot в сообщении #146102 писал(а):

Теорема Ферма доказана, поэтому это верно.

C этим я не спорю. Согласен. А вот с тем частным ограничением, что Вы привели, хотелось бы поглубже ознакомиться. Чье авторство, есть ли ссылочка на работы автора?

Так что, уважаемые модераторы, если Вам не сложно, то последние посты перекиньте в новую темку, например, "Доказанные частные случаи ВТФ", на эту тему можно было бы ссылаться из других тем. Например, существует доказательство Тержаняна для всех четных показателей n. Вот и хорошо. Пусть там оно будет и доказательство, и ссылочка на публикацию. Хорошо бы в этой теме не публиковать ошибочные или непроверенные доказательства.

Ещё один пример. В 1895 году Жонкюре изучил возможность существования алгебраических соотношений между гипотетическими решениями уравнениями Ферма. Как известно, все примитивные решения уравнения Пифагора, удовлетворяют известному алгебраическому соотношению:

x=2ab y=a^2- b^2 z=a^2+b^2

На стр. 287 книги "Последняя теорема Ферма для любителей" П.Рибенбойм приводится доказательство Жонкюре, что никаких алгебраических соотношений для гипотетических решений ВТФ не существует.

Тем не менее за последние два-три года в Интернете (точнее в РУНЕТе) и даже в книгах появилось несколько доказательств ВТФ, которые начинаются с того, что если решение существует, то оно "находится" в тройках Пифагора (его надо искать в тройках Пифагора). А если его в тройках нет, значит ВТФ справедлива. Получается Жонкюре зря старался в далеком 1895 году? Ведь он доказал, что никаких соотношений быть не может, а значит и в тройках Пифагора искать эти решения не надо.

Перечитав классиков и уже имеющиеся доказательства в этой области, возможно и не было бы столь много заведомо пустых тем. Низкий поклон всем модераторам. Очень интересно читать.

[ewert]

ananova писал(а):

Смущает само словосочетание - "достаточно большое" - не очень однозначный смысл оно несет.

Не смущайтесь. Всегда, когда такой фразеологизм встречается, он означает ровно одно: "существует такое $N$, что для всех $n>N$..." и далее по курсу.

[Jnrty]

Jnrty:

ananova в сообщении #146295 писал(а):

уважаемые модераторы, если Вам не сложно, то последние посты перекиньте в новую темку

Выделено из темы "Применение Бинома Ньютона для док-ва теоремы Ферма."

[maxal]

Вот тут еще была дискуссия на похожую тему: http://dxdy.ru/topic2006.html

[ananova]

ewert в сообщении #146296 писал(а):

он означает ровно одно: "существует такое $N$, что для всех $n>N$..." и далее по курсу.

На мой наивный взгляд, тогда можно сказать и так: существует $N$=2 и тройка x=3,y=4,z=5 , а вот для $n>2$ - n будет достаточно большим и теорема выполняется. Поэтому я хотел бы почитать побольше про случай с достаточно большими n и если есть получить ссылки на первоисточники (время когда и кем этот случай был доказан).

maxal в сообщении #146359 писал(а):

Вот тут еще была дискуссия

Спасибо за ссылку.

[bot]

ananova в сообщении #146391 писал(а):

время когда и кем этот случай был доказан

О каком случае речь?
Уж не об этом ли?

bot писал(а):

Пусть $x\leqslant y$. Тогда

$$y<\sqrt[n]{x^n+y^n}=y\sqrt[n]{1+\Big(\frac{x}{y}\Big)^n}\leqslant y\sqrt[n]{2}$$

Так как $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{2}=1$, то по определению предела существует $n_0$, такое что при $n>n_0$ выполняется неравенство $y<\sqrt[n]{x^n+y^n}<y+1$,

Эта задачка для первокурсников на освоение определения предела последовательности настолько тривиальна и в то же время так далека от ВТФ (натурализм чисел x и y совсем ни при чём), что никто на приоритет претендовать тут не станет.

[ananova]

bot в сообщении #146102 писал(а):

Нет, неправильно. $\forall x\forall y\exists n_0$ - тривиально, а $\exists n_0 \forall x\forall y$ - неверно.

Из НЕВЕРНОГО делаю вывод, что каким бы большим не было $n_0$, найдется всегда такое достаточно большое Y, что выполняется неравенство $\sqrt[n]{x^n+y^n}>y+1$.

Но, как было правильно замечено ранее, это не приводит к каким-то плодотворным идеям.