2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Re: Применение Бинома Ньютона для док-ва теоремы Ферма.
Сообщение21.09.2008, 18:53 


15/12/05
740
bot писал(а):
Из первых строк, дальше которых не пошёл, вроде бы понял, что автор фиксирует X < Y и пытается доказать, что ни при каких n ( >2 ? :D ) выражение $\sqrt[n]{X^n+Y^n}$ не может быть целым.
Для достаточно больших n, это, разумеется, верно.
.

'
Решил перечитать тему с самого начала. И решил переспросить цитируемый момент.
"достаточно большие n" - это больше чем Z? Если Z очень большое, то будет ли n - достаточно большим для очень большого Z. Я не первый раз сталкиваюсь с этим утверждением (видел у Рибенбойма на странице 383 - как (abc)-гипотеза) , поэтому решил переспросить у знатоков - что имеется ввиду под этим сравнением n - достаточно большим? Не является ли этот термин субъективным? Если нет, то он требует дополнительной оговорки.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.09.2008, 13:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5492
Новосибирск
Для достаточно больших $n$ верно $P(n)$ - это просто сокращение фразы $\exists n_0\forall n (n>n_0 \Rightarrow P(n))$.
Обычно так говорят тогда, когда не хотят указывать $n_0$, так как его существование очевидно.
В данном случае это делается так:

Пусть $x\leqslant y$. Тогда $$y<\sqrt[n]{x^n+y^n}=y\sqrt[n]{1+\Big(\frac{x}{y}\Big)^n}\leqslant y\sqrt[n]{2}$$
Так как $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{2}=1$, то по определению предела существует $n_0$, такое что при $n>n_0$ выполняется неравенство $y<\sqrt[n]{x^n+y^n}<y+1$,

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.09.2008, 14:15 


15/12/05
740
С первого взгляда - убедительно.

А почему не работает при обычных n данное доказательство?
С неподготовленного взгляда, вроде как должно "работать" для любых n. Или этот самый no и может быть "решением"?

Если этот вопрос слишком сложный в рамках данной темы, то можно не отвечать.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.09.2008, 14:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5492
Новосибирск
ananova в сообщении #145982 писал(а):
А почему не работает при обычных n данное доказательство?

А почему оно вдруг должно работать? Имея конкретные x и y, в принципе, мы можем вычислить после какого $n_0$ решений с этими фиксированными x и y не существует, а что в этом толку?
Искать явную зависимость этого $n_0$ от $x,y$ и проверять иррациональность $\sqrt[n]{x^n+y^n}$ до $n_0$?
Идея слишком тривиальна, чтобы быть плодотворной, да и не нашёл я в маловразумительном тексте автора подтверждения, что он по этому пути идёт.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.09.2008, 16:16 


15/12/05
740
Я правильно понял, что если n достаточно большое, то не имеют значения величины чисел x и y? Например, если x и y достаточно большие числа, то утвердждение относительно достаточно большого n справедливо?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.09.2008, 06:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5492
Новосибирск
ananova в сообщении #146001 писал(а):
Я правильно понял, что если n достаточно большое, то не имеют значения величины чисел x и y? Например

Нет, неправильно. $\forall x\forall y\exists n_0$ - тривиально, а $\exists n_0 \forall x\forall y$ - неверно.
ananova в сообщении #146001 писал(а):
Например, если x и y достаточно большие числа, то утвердждение относительно достаточно большого n справедливо?

Теорема Ферма доказана, поэтому это верно. Достаточно большое $n$ - это $n>2$, а достаточно большие $x$ и $y$ - это $x>0$ и $y>0$.
В чём вопрос? Не вытекает ли сказанное Вами столь же просто, как и $\forall x\forall y\exists n_0$?
Ищите ... :lol:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.09.2008, 10:12 


15/12/05
740
bot в сообщении #146102 писал(а):
В чём вопрос?


Смущает само словосочетание - "достаточно большое" - не очень однозначный смысл оно несет. На английском языке оно тоже так передает смысловую нагрузку?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.09.2008, 10:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5492
Новосибирск
Как, говорится, не нравится - не ешьте. Есть ведь точный смысл этого жаргонизма. Если кто-то употребит его в другом смысле, то скорее всего утверждение прозвучит подозрительно и последует вопрос.
English peaple use to say "for sufficietly large ..." in the same sence.

Добавлено спустя 7 минут 45 секунд:

P.S. Ваш вопрос здесь явно оффтопик. Если ещё есть вопросы, то лучше откройте новую тему или попросите модератора разделить тему. Поднимать эту дохлую тему ответами не хочется и больше не буду.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.09.2008, 15:22 


15/12/05
740
bot в сообщении #146102 писал(а):
Теорема Ферма доказана, поэтому это верно.


C этим я не спорю. Согласен. А вот с тем частным ограничением, что Вы привели, хотелось бы поглубже ознакомиться. Чье авторство, есть ли ссылочка на работы автора?

Так что, уважаемые модераторы, если Вам не сложно, то последние посты перекиньте в новую темку, например, "Доказанные частные случаи ВТФ", на эту тему можно было бы ссылаться из других тем. Например, существует доказательство Тержаняна для всех четных показателей n. Вот и хорошо. Пусть там оно будет и доказательство, и ссылочка на публикацию. Хорошо бы в этой теме не публиковать ошибочные или непроверенные доказательства.

Ещё один пример. В 1895 году Жонкюре изучил возможность существования алгебраических соотношений между гипотетическими решениями уравнениями Ферма. Как известно, все примитивные решения уравнения Пифагора, удовлетворяют известному алгебраическому соотношению:

x=2ab

y=a^2- b^2

z=a^2+b^2

На стр. 287 книги "Последняя теорема Ферма для любителей" П.Рибенбойм приводится доказательство Жонкюре, что никаких алгебраических соотношений для гипотетических решений ВТФ не существует.

Тем не менее за последние два-три года в Интернете (точнее в РУНЕТе) и даже в книгах появилось несколько доказательств ВТФ, которые начинаются с того, что если решение существует, то оно "находится" в тройках Пифагора (его надо искать в тройках Пифагора). А если его в тройках нет, значит ВТФ справедлива. Получается Жонкюре зря старался в далеком 1895 году? Ведь он доказал, что никаких соотношений быть не может, а значит и в тройках Пифагора искать эти решения не надо.

Перечитав классиков и уже имеющиеся доказательства в этой области, возможно и не было бы столь много заведомо пустых тем. Низкий поклон всем модераторам. Очень интересно читать. ;)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.09.2008, 15:31 
Заслуженный участник


11/05/08
31333
ananova писал(а):
Смущает само словосочетание - "достаточно большое" - не очень однозначный смысл оно несет.

Не смущайтесь. Всегда, когда такой фразеологизм встречается, он означает ровно одно: "существует такое $N$, что для всех $n>N$..." и далее по курсу.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.09.2008, 20:19 
Модератор


16/01/07
1549
Северодвинск
 !  Jnrty:
ananova в сообщении #146295 писал(а):
уважаемые модераторы, если Вам не сложно, то последние посты перекиньте в новую темку


Выделено из темы "Применение Бинома Ньютона для док-ва теоремы Ферма."

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.09.2008, 22:11 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5241
Вот тут еще была дискуссия на похожую тему: http://dxdy.ru/topic2006.html

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.09.2008, 09:20 


15/12/05
740
ewert в сообщении #146296 писал(а):
он означает ровно одно: "существует такое $N$, что для всех $n>N$..." и далее по курсу.


На мой наивный взгляд, тогда можно сказать и так: существует $N$=2 и тройка x=3,y=4,z=5 , а вот для $n>2$ - n будет достаточно большим и теорема выполняется. Поэтому я хотел бы почитать побольше про случай с достаточно большими n и если есть получить ссылки на первоисточники (время когда и кем этот случай был доказан).

maxal в сообщении #146359 писал(а):
Вот тут еще была дискуссия


Спасибо за ссылку.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.09.2008, 09:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5492
Новосибирск
ananova в сообщении #146391 писал(а):
время когда и кем этот случай был доказан

О каком случае речь?
Уж не об этом ли?
bot писал(а):
Пусть $x\leqslant y$. Тогда $$y<\sqrt[n]{x^n+y^n}=y\sqrt[n]{1+\Big(\frac{x}{y}\Big)^n}\leqslant y\sqrt[n]{2}$$
Так как $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{2}=1$, то по определению предела существует $n_0$, такое что при $n>n_0$ выполняется неравенство $y<\sqrt[n]{x^n+y^n}<y+1$,


Эта задачка для первокурсников на освоение определения предела последовательности настолько тривиальна и в то же время так далека от ВТФ (натурализм чисел x и y совсем ни при чём), что никто на приоритет претендовать тут не станет.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.09.2008, 13:13 


15/12/05
740
bot в сообщении #146102 писал(а):
Нет, неправильно. $\forall x\forall y\exists n_0$ - тривиально, а $\exists n_0 \forall x\forall y$ - неверно.


Из НЕВЕРНОГО делаю вывод, что каким бы большим не было $n_0$, найдется всегда такое достаточно большое Y, что выполняется неравенство $\sqrt[n]{x^n+y^n}>y+1$.

Но, как было правильно замечено ранее, это не приводит к каким-то плодотворным идеям.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group