Насколько я понял, это функция, которая определена на полевых конфигурациях, то есть область определения у нее - полевые функции.
В
шредингеровской картине это
функционал над (комплекснозначным) полем. В гейзенберговской картине --- это
операторозначное распределение (это распределение нужно "размазать" квадратично интегрируемыми функциями чтобы получить хорошо определенные операторы). Операторы (рождения и уничтожения частиц) при этом действуют на состояния Фока (которые строятся по неприводимым представлениям группы Пуанкаре). В КТП практически всегда используется более удобная гейзейнберговская картина, в которой динамика переносится на гейзенберовские поля-операторы (на самом деле распределения, как я написал выше), из которых строятся Лоренц-ковариантные корреляционные функции Грина, из которых посредством LSZ-формализма получаются матричные элементы

-матрицы. Удобность гейзенберовской картины в том, что ультрафиолетовые расходимости в функциях Грина удобно изолировать и ренормализировать в Лоренц-ковариантном виде (при этом, как только мы эту процедуру осуществим для функций Грина, мы автоматически получаем элементы

-матрицы, свободные от ультрафиолетовых расходимостей). В
фейнмановоском подходе к КТП, который более удобен для недетских теорий, комплексная амплитуда перехода вакуум-вакуум (состояния здесь опять же в гейзенберовской картине, у них есть ярлычки соответствующие временам, но сами состояния от времени не зависят; конкретно здесь эти ярлычки есть

и

) есть интеграл по
классическим полевым конфигурациям (от комплексной экспоненты с
классическим действием как функционалом от классического поля:
![$\exp(iS[\text{field}]$ $\exp(iS[\text{field}]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/1/4/b14830c8dcba10bd321672874447302b82.png)
), и можно сразу построить производящий функционал
![$Z[J]$ $Z[J]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/b/f/abf1ef0939c3d4958845c555e89893a682.png)
, "включив" классический источник

. Фундаментальные корреляционные функции Грина (из которых получаются элементы

-матрицы посредством LSZ) даются простым функциональным дифференцированиям
![$Z[J]$ $Z[J]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/b/f/abf1ef0939c3d4958845c555e89893a682.png)
по источникам

с последующим обнулением источников. Функции Грина посчитать точно можно только в исключительных случаях и обычно их находят пертурбативно.
В нерелятивистской квантовой механике с фиксированным количеством частиц вектор состояния (волновая функция) - это функция
вектор состояния и волновая функция --- это разные вещи. Если у меня есть вектор состояния

, живущий в неком гильбертовом пространстве

, то волновая функция (например, для простоты в координатном представлении) есть

.
Это реально непонятный момент, а в учебнике за обозначениями таких деталей не видно. Вообще плохо освещено состояние квантового поля.
в учебниках все это есть. Например, в Вайнберге.