Принцип сжимающих отображений

[Lister]

Здравствуйте. Возник вопрос по следующей задаче:
Пусть $0<\varepsilon<1, k>0$. Доказать, что функциональное уравнение $u(x)=x+\varepsilon u(x^k)$ имеет единственное решение $u \in C[0,1]$.
Т.е. вопрос о существовании и единственности решения данного уравнения в классе непрерывных на $[a,b]$ функций сводится к вопросу о существовании и единственности неподвижной точки отображения $A:C[0,1]\to C[0,1]$.
Таким образом, требуется доказать, что $\exists q \in [0,1)$ такое, что $\rho(Au_1,Au_2) \leqslant q\rho(u_1,u_2)$ $ \forall u_1, u_2 \in C[0,1]$.
Подставляя исходные данные, получаем, что для решения задачи требуется установить, что $\forall \varepsilon \in (0,1), \forall x \in [0,1], k>0$ найдется число $q \in [0,1)$, гарантирующее выполнение неравенства $\varepsilon \max|u_1(x^k)-u_2(x^k)|\leqslant q\max|u_1(x)-u_2(x)|$, где $u_1$ и $u_2$ - некоторые непрерывые на данном отрезке функции. Идей, честно говоря, нет - даже индукцией по $k$ в данном случае воспользоваться не удастся, т.к. принадлежность $k$ к множеству натуральных чисел условием задачи не гарантируется. Заранее благодарю за помощь!

[ewert]

Чего-то я не понял. А почему бы попросту не $q=\varepsilon$?

Да, и кстати: формулировка

Цитата:

$\forall \varepsilon \in (0,1), \forall x \in [0,1], k>0$ найдется число $q \in [0,1)$

-- неверна. Может, отсюда и проблемы?

[Lister]

ewert, дело в том, что слева в неравенстве в качестве аргументов выступают степени икса $x^k$, а справа - просто $x$, поэтому $\varepsilon = q$ не подходит. По поводу формулировки - насколько я понимаю, $\varepsilon$ - просто некий параметр, и для каждого значения этого параметра число $q$ будет принимать, вообще говоря, различные значения, а $k>0$ - просто элемент условия. Или имелось ввиду, что для всех $x$ при заданном $\varepsilon$ значение $q$ будет одним и тем же? В таком случае извиняюсь за неточность.

[zoo]

Lister писал(а):

Здравствуйте. Возник вопрос по следующей задаче:
Пусть $0<\varepsilon<1, k>0$. Доказать, что функциональное уравнение $u(x)=x+\varepsilon u(x^k)$ имеет единственное решение $u \in C[0,1]$.
Т.е. вопрос о существовании и единственности решения данного уравнения в классе непрерывных на $[a,b]$ функций сводится к вопросу о существовании и единственности неподвижной точки отображения $A:C[0,1]\to C[0,1]$.
Таким образом, требуется доказать, что $\exists q \in [0,1)$ такое, что $\rho(Au_1,Au_2) \leqslant q\rho(u_1,u_2)$ $ \forall u_1, u_2 \in C[0,1]$.
Подставляя исходные данные, получаем, что для решения задачи требуется установить, что $\forall \varepsilon \in (0,1), \forall x \in [0,1], k>0$ найдется число $q \in [0,1)$, гарантирующее выполнение неравенства $\varepsilon \max|u_1(x^k)-u_2(x^k)|\leqslant q\max|u_1(x)-u_2(x)|$, где $u_1$ и $u_2$ - некоторые непрерывые на данном отрезке функции. Идей, честно говоря, нет - даже индукцией по $k$ в данном случае воспользоваться не удастся, т.к. принадлежность $k$ к множеству натуральных чисел условием задачи не гарантируется. Заранее благодарю за помощь!

если так тяжело применить принцип сжатых отображений воспользуйтесь тем, что при достаточно малом $|\varepsilon|$ всякий ограниченный линейный оператор $I+\varepsilon A:X\to X$ на банаховом пространстве $X$ является биекцией. Это стандартный факт.

[Lister]

zoo, благодарю, но дело в том, что решить задачу требуется именно применив принцип сжимающих отображений, поэтому мне все-таки хотелось бы закончить свое решение. Или, может быть, его начало уже неверное? В таком случае огромное спасибо, если кто-нибудь наставит на путь истинный

[zoo]

Lister писал(а):

zoo, благодарю, но дело в том, что решить задачу требуется именно применив принцип сжимающих отображений, поэтому мне все-таки хотелось бы закончить свое решение. Или, может быть, его начало уже неверное? В таком случае огромное спасибо, если кто-нибудь наставит на путь истинный

Вам надо считать $q=\varepsilon$ тогда при любом $|\varepsilon|<1$ отображение сжимающее

[Lister]

Да, что-то я реально туплю Похоже, переучился.
ewert и zoo, спасибо.