Здравствуйте. Возник вопрос по следующей задаче:
Пусть

. Доказать, что функциональное уравнение

имеет единственное решение
![$u \in C[0,1]$ $u \in C[0,1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/f/5/2f517dc921e77989ef82f594cc3b144e82.png)
.
Т.е. вопрос о существовании и единственности решения данного уравнения в классе непрерывных на
![$[a,b]$ $[a,b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/e/4/fe477a2781d275b4481790690fccd15f82.png)
функций сводится к вопросу о существовании и единственности неподвижной точки отображения
![$A:C[0,1]\to C[0,1]$ $A:C[0,1]\to C[0,1]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/a/4/8a4682ad140657c9080ba152aa5b305082.png)
.
Таким образом, требуется доказать, что

такое, что
![$ \forall u_1, u_2 \in C[0,1]$ $ \forall u_1, u_2 \in C[0,1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/4/1/e41e539c63bbb6a6de7307830225505782.png)
.
Подставляя исходные данные, получаем, что для решения задачи требуется установить, что
![$\forall \varepsilon \in (0,1), \forall x \in [0,1], k>0$ $\forall \varepsilon \in (0,1), \forall x \in [0,1], k>0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/7/4176b2ffbcf6ae99dd57b479db7466ca82.png)
найдется число

, гарантирующее выполнение неравенства

, где

и

- некоторые непрерывые на данном отрезке функции. Идей, честно говоря, нет - даже индукцией по

в данном случае воспользоваться не удастся, т.к. принадлежность

к множеству натуральных чисел условием задачи не гарантируется. Заранее благодарю за помощь!