Какие знания необходимы для изучения теории вероятностей?

[Ivan_B]

Исходной целью является получить представление о многочастичных фильтрах, но начал я с фильтра Калмана. Моих знаний оказалось явно недостаточно. Воспользовался списком литературы из темы "Литература по математике". Взял книгу Ширяев А.Н. Вероятность(поскольку она подчеркнута). Но читается со скрипом. Взял наугад Боровков А.А. Теория вероятностей. После этого у меня появилась догадка, что и на этот раз моих знаний недостаточно. Например, у меня нет интуитивного представления о том, что значит

Боровков А.А. Теория вероятностей, стр 24 писал(а):

$\sigma$-алгебра есть класс множеств, замкнутый относительно счетного числа этих[дополнения, объединения и пересечения] операций

С другой стороны, написанное мне понятно, если "класс множеств" можно заменить на "множество множеств". "Наивное" представление о теории вероятностей, которое нужно, чтобы решать задачи в которых каким-нибудь образом шары из ящиков вытаскивают у меня тоже есть.
Подскажите, пожалуйста, что нужно прочесть, чтобы изучать теорию вероятностей?

[Someone]

Ivan_B в сообщении #1456555 писал(а):

написанное мне понятно, если "класс множеств" можно заменить на "множество множеств".

В данном случае это одно и то же; ещё, например, может встретиться "семейство множеств". Надо же как-то разнообразить речь, а то ведь будет сплошь "множество-множество-множество-множество-…".

Ivan_B в сообщении #1456555 писал(а):

Например, у меня нет интуитивного представления о том, что значит

А почему оно должно быть? Вы что, дома на кухне постоянно встречаетесь со счётными последовательностями операций?

Вы понятия "предел последовательности" и "сумма ряда" в курсе математического анализа изучали? Это что-то похожее, только операции другие: имеется бесконечная последовательность множеств $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$, … (в теории вероятностей — подмножеств множества элементарных исходов $\Omega$);
$\bigcup\limits_{k=1}^{\infty}A_k$ есть множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$, …;
$\bigcap\limits_{k=1}^{\infty}A_k$ есть множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат всем множествам $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$, …;
дополнение множества $A\subseteq\Omega$, то есть, $\bar A=\Omega\setminus A$, есть множество всех тех элементов множества $\Omega$, которые не принадлежат $A$.

[ShMaxG]

Попробуйте посмотреть книгу
Г. Крамер, М. Лидбеттер. Стационарные случайные процессы. -- М.: 1969.

[vego]

Я пытался когда-то читать Вулиха "Краткий курс теории функций вещественной переменной", но в силу необразованности или тупости ничего не зашло, хотя сама книжка очень хорошая.
Потом посмотрел в других местах и вот эта книжка мне помогла начать понимать о чем идет речь
Loya "Lebesgue’s remarkable theory of measure and integration with probability"
А вот ещё одна книжка для чайников:
Nelson "A User-friendly Introduction to Lebesgue Measure and Integration"
А можно еще здесь посмотреть:
Pollard "A User’s Guide to Measure Theoretic Probability"

[Anton_Peplov]

Простейший учебник по теории вероятностей, который мне попадался - Е. С. Вентцель. Теория вероятностей и её инженерные приложения. Понятие вероятности там введено на уровне строгости, недостаточном для профессионального математика, но достаточном для решения практических задач. Без сигма-алгебр.
Чтобы освоить этот учебник, нужно понимать, что такое производная и интеграл (любой другой учебник тоже потребует как минимум этого).

[alisa-lebovski]

Могу посоветовать книгу Миллер, Панков "Теория случайных процессов в примерах и задачах". Там есть про фильтры Кальмана-Бьюси. Необходимые сведения по теории вероятностей приведены в конце.

[Ivan_B]

Спасибо за Ваши рекомендации.
Мне нужно время, чтобы попробовать им следовать. Кроме того, мне дали совет касательно моей исходной цели, чему я очень рад.
Мой исходный вопрос по-прежнему актуален, поэтому, если на него не очень сложно ответить, буду рад получить ответ.

Подскажите, пожалуйста, что нужно прочесть, чтобы изучать теорию вероятностей? Какие знания ожидает преподаватель от студентов?
Например,

Anton_Peplov в сообщении #1456707 писал(а):

нужно понимать, что такое производная и интеграл

Если возможно, было бы неплохо указать какую книгу использовать: например, любой учебник по математическому анализу.
В идеале, с автором(но это не обязательно, поскольку есть тема "Литература по математике") Например, Фихтенгольц, Зорич.

Желательно, чтобы это был не минимальный набор, чтобы при чтении все было понятно, чтобы в конце появилась какая-то общая картина, а не набор не до конца понятных формул, которые, тем не менее, возможно применять.

[Anton_Peplov]

Ivan_B в сообщении #1457044 писал(а):

Желательно, чтобы это был не минимальный набор, чтобы при чтении все было понятно, чтобы в конце появилась какая-то общая картина, а не набор не до конца понятных формул, которые, тем не менее, возможно применять.

Работа с учебником Вентцель Вам всё это обеспечит.

Ivan_B в сообщении #1457044 писал(а):

Если возможно, было бы неплохо указать какую книгу использовать: например, любой учебник по математическому анализу.

Зорича не трогайте: об него можно мозги сломать. Большой любитель объяснять самые простые вещи максимально сложным образом. Будущим профессиональным математикам он полезен, Вам - вреден.

Можно попробовать Ильин, Позняк. Математический анализ. Если какая-то тема будет непонятна, посмотреть на неё же в Фихтенгольце. Полностью Фихтенгольца ботать не надо, он понятный, но уж очень толстый, и к тому же несколько терминологически устарел.

[Ivan_B]

По моим наблюдениям на вопросы как мой обычно не отвечают... не знаю почему. Или это невозможно... Почему бы так и не написать?
Но если я сейчас не отвечу, то мне точно никто не ответит.

Anton_Peplov в сообщении #1457099 писал(а):

Вам - вреден.

Я его уже успел потрогать. В чем может быть проблема? (Не обязательно с Зоричем. Единственная проблема которую вижу я - затраты времени, но они того стоят, об этом дальше)

Anton_Peplov в сообщении #1457099 писал(а):

Если какая-то тема будет непонятна, посмотреть на неё же в Фихтенгольце.

Это не всегда работает. Пример. Основным учебником в том курсе, который читали мне был Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов В этой книге теорема Вейерштрасса о максимальном значении приводится без доказательства, поскольку основа для этого доказательства тоже отсутствует. Я тогда эту теорему воспринял как "очевидную". Мне казалось, что она приведена для строгости. Я не мог даже подумать о том, что существуют ограниченые на отрезке функции, которые не имеют максимального значения. Сложно передать словами ту путаницу, что была у меня в голове. В итоге я не понимал в чем разница между ограниченостью и непрерывностью. Я просто помнил(не значит понимал) формулировки. Все экзамены я тогда сдал на 5. Да, да!!! И вот я "хорошо знаю математику". Тогда я понимал, что что-то не так. При этом чтение более продвинутой книги с середины не работает, поскольку нет базы. Я пробовал читать Ильина, Камынина, Куранта, Рудина, Кудрявцева, Томаса, Фихтенгольца и Зорича. Какой выход? Читать продвинутую книгу с самого начала. И все становится понятно. Я на это угробил кучу времени. Вывод. Читать по математике только те книги, которые написаны для математиков. И вот если бы кто-то сказал мне об этом раньше...

[Anton_Peplov]

Ivan_B в сообщении #1457407 писал(а):

В чем может быть проблема?

В том, что Зорич забьёт Вам голову метрическими и топологическими пространствами, пределами по базе и прочими непростыми абстракциями, которые Вам нужны примерно так же, как кондитеру - квантовая химия.

Если Вы спросите у Зорича, куда едет пятый автобус, он расскажет Вам про сложную форму Земли, модели геоида, основы спутникового позиционирования и принципы прокладки дорог. Так что Вы постигнете всю нетривиальность траектории, по которой движется пятый автобус, прежде чем узнать, что он курсирует от вокзала до улицы Ленина. Если Вам не жалко времени и сил - ради бога. Только учтите, что времени в жизни куда меньше, чем кажется в молодости.

Ivan_B в сообщении #1457407 писал(а):

В этой книге теорема Вейерштрасса о максимальном значении приводится без доказательства, поскольку основа для этого доказательства тоже отсутствует.

В книге Ильина и Позняка все теоремы приведены с доказательствами. Это нормальный курс математики для физфаков, строгий и в нужной мере подробный.

Ivan_B в сообщении #1457407 писал(а):

Я пробовал читать Ильина, Камынина, Куранта, Рудина, Кудрявцева, Томаса, Фихтенгольца и Зорича. Какой выход? Читать продвинутую книгу с самого начала. И все становится понятно. Я на это угробил кучу времени. Вывод. Читать по математике только те книги, которые написаны для математиков.

Если Вы сами всё знаете, то, очевидно, не нуждаетесь в моих советах, поэтому прекращаю их давать.

[Ivan_B]

Спасибо всем за Ваши ответы и время.
Отдельное спасибо Anton_Peplov, как человеку, наиболее сильно "пострадавшему" от моих вопросов.

Anton_Peplov в сообщении #1457420 писал(а):

Если Вы сами всё знаете

Я не пытался вам оппонировать. Я изложил свой подход и свое отношение к тому, что я вижу вокруг. Это как решение учебной задачи, которое нужно изложить, чтобы получить помощь.

Anton_Peplov в сообщении #1457420 писал(а):

В книге Ильина и Позняка все теоремы приведены с доказательствами. Это нормальный курс математики для физфаков, строгий и в нужной мере подробный.

Моя догадка состоит в том, что Вам показалось, что я даю оценку книгам(хорошая/плохая) по математическому анализу. Это не так. В моем случае "пробовал читать" нужно понимать буквально(любую книгу можно открыть и попробовать читать) Когда открыл Фихтенгольца, то стало понятно. И базы в Зориче мне понравились(то есть мне было интересно это узнать, как кому-то может быть интересно играть в компьютерные игры) А вот другие книги мне не помогли, возможно, я их не на той странице открыл. Если мне понадобится вернутся к изучению математического анализа, буду иметь в виду книгу, которую Вы рекомендуете.