Минимизировать боковую площадь конуса при данном объёме.

[Juicer]

Пытаюсь минимизировать боковую площадь конуса $A$ при данном объёме $V$. Проблема в том, что запрещено использовать производные. Использовать неравенства. Уже день над ней бьюсь.
Итак:
Дан $V; V_{cone} = \frac{1}{3}\pi R^2 h; A = \pi R l, A\rightarrow \min. $ Так как $l = \sqrt{h^2 + R^2} \text{ и } h = \frac{3V}{\pi R^2}:$

$$l = \sqrt{ \frac{3V}{\pi R^2} + R^2} \Rightarrow $$

$$\Rightarrow A = \pi R \sqrt{ \frac{3V}{\pi R^2} +R^2} = \pi \sqrt{ \frac{3V}{\pi} +R^4}$$

- это я пробовал раз, выражая всё через $R$.

Далее я так же всё выразил через $h$. Тогда:
$R = \sqrt{\frac{3V}{\pi h} }, \; l = \sqrt{\frac{3V}{\pi h} + h^2 } \Rightarrow $

$$\Rightarrow A = \pi \sqrt{\frac{3V}{\pi h} } \sqrt{\frac{3V}{\pi h} + h^2 }.$$

Итак,

$$A = \pi \sqrt{\frac{9V^2}{\pi^2 h^2} + \frac{3Vh}{\pi} } = \pi \sqrt{\frac{3V}{\pi}\Big(\frac{3V}{\pi h^2} +h \Big) }\rightarrow \min. $$

Что дальше делать - не знаю. Уже и дошёл до производных - дифференцирование говорит, что минимум в $h^3 = \frac {3V}{\pi}.$
А как это получить без производных - не понятно. Пытался под корнём уже и выделить эту разность, но всё же не получается: не остаётся слагаемых под корнём, которые не зависят от $h$, и которые точно останутся и будут минимальным значением.
Помогите, пожалуйста.

[gris]

С самого начала ошибка При переходе ко второй строке формул подстановкой высоты. Следите за размерностью. Зато через высоту правильно выразили.
Возможно, предполагается использование неравенств типа AM-GM?
Если более общо, то надо без производных найти минимум функции $f(t)=t^{-n}+t^{m}$

[Утундрий]

(Оффтоп)

Juicer в сообщении #1456260 писал(а):

Проблема в том, что запрещено использовать производные.

Интересно, существует ли условно приличный способ посылать авторов таких заданий в... например, вычислять $\sqrt { - 1}$ без использования комплексных чисел.

[Евгений Машеров]

Лично я бы:
1. Выразил бы попросту через R и h площадь и объём.
2. Возвёл бы выражение для площади в квадрат, корень штука неприятная и мешающаяся, а максимум и минимум есть максимум и минимум, невзирая на монотонные преобразования.
3. Посмотрел бы на слагаемые в выражении для площади, поискал бы их в выражении для объёма.
4. И вспомнил бы одно из самых знаменитых и популярных неравенств.

(Оффтоп)

На этом Шехерезада прекращает дозволенные речи.

-- 20 апр 2020, 08:18 --

Утундрий в сообщении #1456302 писал(а):

(Оффтоп)

Juicer в сообщении #1456260 писал(а):

Проблема в том, что запрещено использовать производные.

Интересно, существует ли условно приличный способ посылать авторов таких заданий в... например, вычислять $\sqrt { - 1}$ без использования комплексных чисел.

Вообще-то это учебная задача. По теме "Неравенства", я полагаю. И результат её - не нахождение оптимальной формы конуса, а выработка умения пользоваться неравенствами. Вы ещё погневайтесь на тренеров по лёгкой атлетике, требующих бежать ногами, а не вызвать такси и с комфортом доехать до финиша.
А вообще это даже предмет раздела теории оптимизации.

Цитата:

Р. Даффин, Э. Питерсон, К. Зенер. Геометрическое программирование. — М.: Мир, 1972. — 311 с.

[Juicer]

Евгений Машеров в сообщении #1456321 писал(а):

Лично я бы:

Да, всё, я понял. Это так же, как и я делал, только моя проблема была в том, что я полагал, что от $h$ можно избавиться и останется какая-то часть без $h$ либо без $R$. Но это не так. Там нужно получить $h$ через неравенство, и только потом можно подставлять и узнавать минимум.
Применил AM-GM, всё вышло, спасибо.

Евгений Машеров в сообщении #1456321 писал(а):

По теме "Неравенства", я полагаю.

Истинно так.

[Sicker]

(красивое решение под катом)

$\pi\cdot dh+2\pi Rh\cdot dR=0$
$dh+2\frac{h}{R}dR=0$
Метод множителей Лагранжа
$\frac{dS}{dR}=\frac{2\pi R^2}{L}=2\frac{h}{R}\lambda$
$\frac{dS}{dh}=\frac{2\pi Rh}{L}=\lambda$

$\frac{R}{h}=2\frac{h}{R}$
$\frac{h}{R}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

[Евгений Машеров]

Безо всякого Лагранжа красивее.

(Оффтоп)

$V=\frac 1 3 \pi R^2 h$
$S=\pi R\sqrt{R^2+h^2}$
Без потери общности избавляемся от констант, минимизируя
$s=R\sqrt{R^2+h^2}$
при заданном
$v=R^2 h$
Поскольку s положительно, то квадрат s монотонно возрастающая функция, так что минимизируем
$z=s^2=R^4+R^2h^2$
Смотрим на z и v, и видим в них нечто общее.
$x=R^4$
$y=R^2h^2$
$z=x+y$
$v=\sqrt{xy}$
Ну и равенство средних, арифметического и геометрического достигается при равенстве x,y. Или $h=R$

[Juicer]

Евгений Машеров в сообщении #1456723 писал(а):

$v=\sqrt{xy}$

Но ведь $v = R^2 h$, а $\sqrt{xy} = \sqrt{R^6h^2}$

[Евгений Машеров]

Сорри, что-то торможу... Завтра подумаю, где накосячил...

[Sicker]

(Оффтоп)

Так я даже теорему Пифагора не применял