Кольцо измеримых функций

[shwedka]

Как говорят, музыка навеяла, то есть вопрос РУСТ а об интегрируруемых функциях.

Известно, что измеримая функция, скажем, на отрезке, по Лебегу, это класс функций, отличающихся друг от друга на множестве меры нуль.

Вопрос. Можно ли выбрать в каждом классе представителя, то есть настоящую функцию,
чтобы получившееся множество было кольцом относительно естественных операций.
Считайте, что гипотеза выбора у вас есть.

[Руст]

С помощью аксиомы выбора естественно можно выбрать по представителю не только кольца, но даже алгебры над R.
Занумеруем, берём первую ещё не отмеченную "функцию", возьмём представителя, отметим все "функции" порождённые этой функцией и ранее отметившимися заменим их соответствующими представителями и т.д.

[shwedka]

Цитата:

отметим все "функции" порождённые этой функцией и ранее отметившимися заменим их соответствующими представителями

Хорошо. только немножко лихо. Если бы речь шла о кольце без делителей нуля, или, точнее, с сокращением, было бы прекрасно.
Однако в Вашем подходе нужно увериться, что для функций, получающихся на очередном шаге Вашего расширения, все возможные
способы 'порождения' этой функции дают согласованный результат.

[Руст]

Это верно но очевидно, на каждом этапе отмечаются вместе с "функцией" f только такие:
$\sum_{k=1}^n a_kf^k$, значения полиномов от f с коэффициентами из ранее отметившихся функций. Поэтому таких проблем с рассоглосованием не будет.

[shwedka]

Ну, не вконец убеждена. Одна и та же функция может быть получена разными полиномами.

[Руст]

Но это же не мешает отмечать их пусть даже некоторый полином имеет бесконечно много других представлений с данным f, мы отмечаем все полиномы от f сделав их обычными функциями.

[er]

Если такая алгебра существует, то существует и аналогичная алгебра измеримых функций, принимающих конечное число значений (везде, кроме множества меры 0).

Тоже не очень понятно.

Похоже, задача про функции с конечными числом значений почти эквивалентна:

Вопрос. Измеримые множества на прямой будем рассматривать как булеву алгебру с операцией симметрической разности. Существует ли подалгебра, не содержащия множеств меры нуль (кроме пустого) и любое измеримое подмножество отличатся от элемента подалгебры на множество меры ноль?