2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Кольцо измеримых функций
Сообщение28.03.2006, 02:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
Как говорят, музыка навеяла, то есть вопрос РУСТ а об интегрируруемых функциях.

Известно, что измеримая функция, скажем, на отрезке, по Лебегу, это класс функций, отличающихся друг от друга на множестве меры нуль.

Вопрос. Можно ли выбрать в каждом классе представителя, то есть настоящую функцию,
чтобы получившееся множество было кольцом относительно естественных операций.
Считайте, что гипотеза выбора у вас есть.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.03.2006, 09:27 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
С помощью аксиомы выбора естественно можно выбрать по представителю не только кольца, но даже алгебры над R.
Занумеруем, берём первую ещё не отмеченную "функцию", возьмём представителя, отметим все "функции" порождённые этой функцией и ранее отметившимися заменим их соответствующими представителями и т.д.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.03.2006, 11:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
Цитата:
отметим все "функции" порождённые этой функцией и ранее отметившимися заменим их соответствующими представителями

Хорошо. только немножко лихо. Если бы речь шла о кольце без делителей нуля, или, точнее, с сокращением, было бы прекрасно.
Однако в Вашем подходе нужно увериться, что для функций, получающихся на очередном шаге Вашего расширения, все возможные
способы 'порождения' этой функции дают согласованный результат.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.03.2006, 11:42 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Это верно но очевидно, на каждом этапе отмечаются вместе с "функцией" f только такие:
$\sum_{k=1}^n a_kf^k$, значения полиномов от f с коэффициентами из ранее отметившихся функций. Поэтому таких проблем с рассоглосованием не будет.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.03.2006, 11:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
Ну, не вконец убеждена. Одна и та же функция может быть получена разными полиномами.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.03.2006, 12:07 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Но это же не мешает отмечать их пусть даже некоторый полином имеет бесконечно много других представлений с данным f, мы отмечаем все полиномы от f сделав их обычными функциями.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.03.2006, 23:44 


06/03/06
150
Если такая алгебра существует, то существует и аналогичная алгебра измеримых функций, принимающих конечное число значений (везде, кроме множества меры 0).

Тоже не очень понятно.

Похоже, задача про функции с конечными числом значений почти эквивалентна:

Вопрос. Измеримые множества на прямой будем рассматривать как булеву алгебру с операцией симметрической разности. Существует ли подалгебра, не содержащия множеств меры нуль (кроме пустого) и любое измеримое подмножество отличатся от элемента подалгебры на множество меры ноль?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group