Коммутирующие операторы и контактное преобразование

[DLL]

Есть теорема, что точечным преобразованием любой оператор может быть преобразован к сдвигу.
Есть ли какая-нибудь теорема для контактных преобразований?
Например, что два коммутирующих оператора могут быть преобразованы в два сдвига по разным переменным.

[DLL]

ОК, наверное это утверждение неверное. Вопрос проще - как правильно сделать замену переменных для генераторов контактной симметрии? Для точечных это просто матрица Якоби умноженная на столбец $\xi, \eta$.

[пианист]

Коэффициент оператора $X$ при новой переменной $x'(x)$ равен $X(x'(x))$, так их удобнее всего и считать. Проблема, что контактное преобразование общего вида задаётся не очень удобно (если что, есть в книжечке Ли и Энгеля, я тут выкладывал ссылку).
Upd вот ссылка post1043705.html#p1043705

[novichok2018]

DLL - Есть теорема, что точечным преобразованием любой оператор может быть преобразован к сдвигу - где это можно почитать в понятном и доступном виде?

[пианист]

Наличие $n-1$ интеграла системы

$$\begin{cases}\frac{d x^1}{d t} = \xi^1(x^1,..,x^n), \\.., \\\frac{d x^n}{d t} = \xi^n(x^1,..,x^n) \end{cases}$$

считаем известным фактом (например, в книжечке Понтрягина по оду точно есть).
Теперь делаем замену $(x^1, x^2, .., x^n) \rightarrow (y^1, y^2, .., y^{n-1}, x^n)$ в уравнении $\xi^i \frac{\partial f}{\partial x^i} = 1$ ($y^1, y^2, .., y^{n-1}$ эти самые интегралы), что его сразу упрощает и позволяет свести к квадратуре. Полученное $f$ берем в качестве $y^n$. В переменных $(y^1, y^2, .., y^n)$ поле $\xi^i \frac{\partial}{\partial x^i}$ имеет вид $\frac{\partial}{\partial y^n}$.
Как-то так.

[novichok2018]

Аналогичное понятие есть в механике, там оно называется кинематическое подобие по Ляпунову, изложено в книге Далецкий-Крейн и похожих. Есть для уравнения или системы это преобразование, изложенное в известной хорошо написанной книге, понятно и без ненужной зауми?, так как по существу это просто упрощающая уравнение или систему замена переменных.

[DLL]

Хорошо, а такой вопрос - допустим у нас есть контактная симметрия которая в некотором базисе является обычным продолжением точечной симметрии. Как это свойство можно идентифицировать в произвольном базисе?

[пианист]

Ну если векторное поле тоже такое, проектирующееся на $(x,u)$, то все ок. А если что-то типа $2u_x\frac{\partial}{\partial x} + {u_x}^2\frac{\partial}{\partial u}$, непонятно, что делать.

(Оффтоп)

По ходу, контактные общего вида тоже получаются как продолжения соотношений, заданных в $(x, u, x', u')$, но только когда число соотношений меньше чем $n+1$.

[novichok2018]

Не хотите подсказать учебник, где подобный вопрос рассматривается просто как упрощающая замена переменных, без ненужных в таком контексте терминологий и терминов?

[пианист]

Вы имеете в виду, подобрать замену, упрощающую дифференциальное выражение или диффур?

[novichok2018]

Все ситуации интересны: дифференциальное выражение, дифур, систему дифуров. Но именно в таких терминах, без привлечения мистических знаний высших порядков сложности. Как про кинематическое подобие в книге Далецкий/Крейн, ясно просто и понятно сразу. Спасибо.

[пианист]

Далецкий, Крейн не знаком, сори.
Учебника такого (с разъяснение, как подбирать замены) плана также не знаю.
Представляется, что это будет попросту справочник - никакой науки нет, голая эмпирика. К слову сказать, не особо много я вспомнил случаев, когда (может, кто из участников ещё подгонит). Преобразование Миуры для уравнение Бюргерса, уравнение Лиувилля (ну, это Вы знаете), преобразование Лежандра для околозвукового течения. Метод годографа.
Вот есть пример для не линейной теплопроводности post1196029.html#p1196029
Нечто аналогичное удалось проделать для нелинейной гиперболической теплопроводности (С.Р. Свирщевский), причём обошлось меньшей кровью, считалась группа контактных преобразований, а не высших.
Короче, все это весьма штучный товар, hand made.
Кстати, книжечко Зайцев, Полянин не про это? Если что, извиняюсь, не читал.
Ещё в каком-то смысле МОЗР можно считать преобразованием.

(Оффтоп)

Извиняюсь за задержку с ответом, очень неважно себя чувствую.

[DLL]

novichok2018
Мне кажется, что тут нет ничего мистического.
Обычный язык - Ли группы, Ли алгебры.
P.S: не хворайте, пианист, время тяжелое, но прорвемся!

[novichok2018]

пианист - спасибо, и здоровья, выздоравливайте. Пусть всё будет хорошо.

[Padawan]

Что такое контактная симметрия?