Помогите разобраться с плотным множеством (dense set)

[Arastas]

Пытаюсь уяснить для себя концепцию dense set. Смотрю определение - подмножество $S\subset \mathbb{R}^n$ является плотным в $\mathbb{R}^n$ если любая точка $p\in \mathbb{R}^n$ или принадлежит $S$ или является предельной точкой $S$. Или, иначе говоря, любая окрестность любой точки $p\in\mathbb{R}^n$ содержит точку из $S$. Или (из Wiki): a subset $\mathcal{A}$ of a topological space $\mathcal{X}$ is dense in $\mathcal{X}$ if for any point $x$ in $\mathcal{X}$, any neighborhood of $x$ contains at least one point from $\mathcal{A}$. Хорошо, пока мне кажется, что всё понятно.

Но далее я читаю одну статью, и там в качестве примера dense set приводят шар $|x|^2<1$ для $x\in\mathbb{R}^2$. Аналогичный пример приводится и здесь: овал внутри прямоугольника является плотным подмножеством. Как так? Очевидно, что за пределами шара есть точки, чьи малые окрестности не включают в себя точки из шара. Помогите разобраться, пожалуйста.

[mihaild]

А что за статья? Возможно там была какая-то другая топология на $\mathbb R^2$ (хотя это должна быть какая-то очень странная топология).
На brilliant просто написан бред, такое бывает.

[Arastas]

Ссылку на статью, к сожалению, дать не смогу, это рукопись на рецензировании. Но нет, там авторы говорят про вполне обычное $\mathbb{R}^2$.

Авторы приводят в кочестве примера dense set шар, а в качетсве примера nowhere dense set - прямую (всё пока в $\mathbb{R}^2$). На сколько я понимаю дальнейшие рассуждения, то то свойство, которое им нужно, можно примерно сформулировть так: для точки внутри шара произвольное малое смещение оставит точку в шаре, а для точки на прямой произвольное малое смещение уведёт точку с прямой. Интуитивно это даже как-то похоже на понятие плотности, но это же не то же самое, что dense set, верно?

[Someone]

Arastas в сообщении #1454748 писал(а):

для точки внутри шара произвольное малое смещение оставит точку в шаре

Открытое множество (open set)?

[Arastas]

Someone в сообщении #1454750 писал(а):

Arastas в сообщении #1454748 писал(а):

для точки внутри шара произвольное малое смещение оставит точку в шаре

Открытое множество (open set)?

Да, я имел ввиду open set.

[Someone]

Arastas в сообщении #1454753 писал(а):

Да, я имел ввиду open set.

Ну так и напишите авторам, что это никакое не dense set, а совсем даже open set. Пусть исправят. Или пусть дадут точное определение того свойства, которое им нужно.

[Arastas]

Видимо, так и напишу. Меня смутило, что на brilliant был такой же пример, а я в топологии не бум-бум. Решил уточнить. Спасибо всем за помощь!