Немного теории множест

[IndexOutOfRange]

Всем привет. Решил я тут подтянуть свой мат. аппарат. Взял Зорича и пошел по матану. И вот первая несостыковка:

Здесь сказано, что для любых двух множеств можно образовать пару. Ок, а потом приводится формула, где элементами пары являются не множества. Ну не могу я просто пройти мимо этого. Чисто интуитивно я понимаю, что такое декартово произведение, но мне хочется понять, что имел ввиду автор. Кто-нибудь подскажет? Мне тяжело воспринимать теорию, которую строит автор, если там такие несостыковки = ( Как мне правильно воспринимать написанное?

[mihaild]

IndexOutOfRange в сообщении #1454084 писал(а):

где элементами пары являются не множества

Где конкретно?

[IndexOutOfRange]

Вот тут: $(x, y) | (x \in X) \wedge (y \in Y)$
Ну, например, если $X = \{1, 2\}, Y = \{3, 4\}$, то $1$ не является множеством.

[Pphantom]

IndexOutOfRange, вас разница между обозначениями $\{A,B\}$, $(A,B)$ и $A \times B$ не смущает? Тут три абзаца и три разных определения (хотя и связанных, естественно, друг с другом).

[IndexOutOfRange]

А при чем тут это?) В обозначении $(A, B)$ используются множества $A$ и $B$, а в $(x, y)$, при рассматриваемых мною $X$ и $Y$ там уже не множества. Вот это меня смущает.

[Otta]

IndexOutOfRange
Запись $\{z\mid z\in Z\}$ означает: множество всех $z$, таких что $z\in Z$.
У Вас проблемы с чтением записи.

[Pphantom]

IndexOutOfRange в сообщении #1454108 писал(а):

В обозначении $(A, B)$ используются множества $A$ и $B$, а в $(x, y)$, при рассматриваемых мною $X$ и $Y$ там уже не множества. Вот это меня смущает.

Это обозначение упорядоченной пары чего-то. В первом случае - множеств, во втором - чисел. Скобок в наличии мало, на все случаи жизни разных не напасешься.

[mihaild]

IndexOutOfRange в сообщении #1454095 писал(а):

$1$ не является множеством

Если рассматривать всё формально в теории множеств - то является (там вообще всё - множество).
Либо можно считать, что существуют объекты разных типов, и, как предлагает Pphantom, считать что $(\cdot, \cdot)$ - это упорядоченная пара каких угодно объектов (и соответственно имеет какой-то свой тип).

[IndexOutOfRange]

То ли я дурак, то ли лыжи не едут) Дано определение упорядоченной пары множеств и показано ее обозначение, и еще сказано, что ее можно образовать из любых 2 множеств. И сразу после этого. Используется то же самое обозначение, но уже для $x$ и $y$, которые не факт, что являются множествами. Если бы в определении было сказано, что для любых двух элементов произвольных множеств можно образовать упорядоченную пару, то вопросов бы не возникло. Я бы еще мог понять, если это были бы не связанные определения. Но там потом ясно сказано, что $(x, y)$ - это упорядоченная пара. Определение вводится для множеств, а потом юзается для элементов.

[grizzly]

IndexOutOfRange в сообщении #1454123 писал(а):

но уже для $x$ и $y$, которые не факт, что являются множествами

Являются, конечно. Вы ведь уже дочитали до того места, где советуют желающим более глубоко вникнуть в теорию множеств прочитать параграф 4, а если этого мало перейти к изучению дополнительной специальной литературы?

[Pphantom]

Ну а какая вам разница? Нигде не сказано, что элемент - это что-то принципиально отличное от множества (более того, даже явно сказано обратное).

[IndexOutOfRange]

Много где пишут, что $a$ и $\{a\}$ - разные вещи, а тут раз - и нет разницы. Ладно, попробую почитать Analysis I (Terence Tao), посмотрел, как он вводит определение упорядоченной пары и декартова произведения. Все чисто и аккуратно.

[arseniiv]

IndexOutOfRange в сообщении #1454132 писал(а):

Много где пишут, что $a$ и $\{a\}$ - разные вещи, а тут раз - и нет разницы.

Так $a = \{a\}$ оттуда и не следует.

-- Пн апр 13, 2020 17:21:14 --

Квазиисторическое развитие событий может быть такое: мы формулируем теорию множеств, где есть множества, элементами которых являются какие-то первоэлементы, которые мы считаем понятными нам заранее и в которые включается то, что по идее не множество и мы не уверены, что выразимо с помощью множеств (или мы об этом выражении не думали). Например натуральные числа. Также мы хотим, чтобы элементами множеств могли быть другие множества, а то выразительности не очень много. Наконец нам будет удобно, чтобы элементами одного множества могли бы быть и первоэлементы, и множества одновременно.

Пока вроде всё не так уж неудобно, аксиоматизировать это всё можно, включая и аксиомы о поведении первоэлементов (что с ними можно делать, когда они равны и т. п.). Добавим упорядоченные пары. Опять же нам могут быть удобны пары и с элементами-первоэлементами, и с элементами-множествами, и наконец с элементами-парами. Мы можем считать, что пары — это третий тип объектов нашей теории. Это ещё усложнит аксиоматизацию. Мы можем также отнести их к первоэлементам, потому что они не множества. Это тоже усложнит аксиоматизацию в другом месте…

Наконец мы можем случайно заметить, что часть теории, говорящая только о множествах, спокойно может обойтись и без первоэлементов, и без атомарных упорядоченных пар — и плюс к тому выразить и те (например натуральные числа как конечные ординалы, которые в свою очередь брать по фон Нейману), и другие (например конструкцией Куратовского). При этом мы не обязаны помнить, как именно мы можем всё выразить, мы можем просто посчитать, что кто-то выразил всё за нас, и попадающиеся нам 0, 1, 2, 3, … и упорядоченные пары — это уже множества — просто неизвестной нам структуры (и нам и не нужно её знать, от них нам требуются лишь осмысленные для них операции).

Так мы и приходим к современным распространённым теориям множеств.

-- Пн апр 13, 2020 17:30:30 --

Единственная проблема — это «нетипизированность»: никто не остановит любопытного от вопроса, какие элементы у натурального числа 2 и узнать, что это 0 и 1, или записать «принадлежность» паре и получить не то, что хотелось бы (входит ли нечто как первый или второй элемент, а не входит ли в представление пары множеством — что при любом представлении пар будет являться разными вещами). Де факто математики работают с насколько-то «типизированными» объектами и не позволяют себе брать объединения натуральных чисел и пересекать их с функциями, и сам вопрос, существуют ли первоэлементы или всё там множества без конца, отодвигается куда-нибудь подальше, как и должно быть, потому что теории множеств в таком случае интересуют не сами по себе, а лишь чтобы гарантировать существование некоторого набора вещей, которые обычно достаточны для работы и притом не приводят к очевидным противоречиям.

[Someone]

IndexOutOfRange в сообщении #1454132 писал(а):

Много где пишут, что $a$ и $\{a\}$ - разные вещи

Стандартно в теории множеств все объекты являются множествами, в том числе и числа. В частности, натуральные числа такие: $0=\varnothing$, $1=\{\varnothing\}$, $2=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}$, $3=\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\}$,… (каждое натуральное число — это множество всех предшествующих натуральных чисел; $0$ считается натуральным числом). Действительные числа тоже представляются множествами, но более сложной структуры.
Бывают теории множеств с атомами, то есть, с объектами, которые не считаются множествами. Но с атомами обращаются всё равно точно так же, как с множествами, просто атом считается пустым множеством (определение равенства множеств на атомы, естественно, не распространяется).

Упорядоченные пары, тройки и так далее тоже запросто моделируются множествами. Простейший способ — $(a,b)=\{a,\{a,b\}\}$. Потом упорядоченную тройку можно определить через пару как $(a,b,c)=(a,(b,c))$, упорядоченную четвёрку — как $(a,b,c,d)=(a,(b,c,d))$, и так далее. На практике все эти детали совершенно не нужны, достаточно того, что существует возможность всё нужное выразить через множества.

Что касается равенства $a=\{a\}$, то в стандартной теории множеств такое равенство запрещено аксиомой регулярности (часто называется также аксиомой фундирования), а если Вы почему-либо хотите, что этой аксиомы не было, то подобное равенство возможно, но далеко не для всех множеств. В частности, $\{\varnothing\}\neq\varnothing$ независимо ни от каких аксиом, потому что множество $\varnothing$ по определению не содержит ни одного элемента, а множество $\{\varnothing\}$ по определению содержит один элемент. Более того, без специальной аксиомы невозможно доказать существование множества $a$, удовлетворяющего равенству $a=\{a\}$ (или хотя бы более слабому условию $a\in a$, или ещё более слабому условию $a\in a_1\in a_2\in\ldots\in a_n\in a$, или хотя бы бесконечной цепочке включений $a\in a_1\in a_2\in\ldots$).