найти функцию с неограниченной производной

[Spook]

Пытаюсь найти дифференцируемую функцию $f(x)$ с конечной, но неограниченной производной на $[a,b]$, причем существуют числа $\alpha,\beta,a\leqslant\alpha\leqslant\beta\leqslant b$, такие что:
1) функция монотонно убывает на $[a,\alpha]$;
2) функция монотонно возрастает на $[\beta,b]$;
3) при $x\in[\alpha,\beta]$ $f(x)=f*=\min\limits_{[a,b]}f(x)$.
Интуиция подсказывает, что это невозможно, но доказать пока не могу.

P.S. Почему у меня $[a,b]$ не под $min$, а где-то справа?

[ddn]

Spook писал(а):

Интуиция подсказывает, что это невозможно, но доказать пока не могу.

Непонимаю, с чего Вы решили, что это невозможно. Видимо Вы пытались искать аналитическую формулу функции на всем $[a,b]$ или у Вас не получалось сделать ограниченной саму функцию, чтоб она была определена в точках $a$ и $b$.

А решение к примеру такое (используются четвертинки окружности):
$f(x)=f_*+\left\{\begin{array}{ccc}(\alpha-a)-\sqrt{(\alpha-a)^2-(\alpha-x)^2},x\in[a,\alpha]\\0,x\in[\alpha,\beta]\\(b-\beta)-\sqrt{(b-\beta)^2-(x-\beta)^2},x\in[\beta,b]\end{array}$

Из ваших условий требуется, чтобы интервалы $[a,\alpha]$ и $[\beta,b]$ не вырождались в точку, ибо на $[\alpha,\beta]$ функция постоянна - тогда значения производной функции будут пробегать все вещественные числа (и даже по одному разу, кроме ее нулевого значения, которое в случае $\alpha<\beta$ пробегается производной континуум раз).

То есть должно быть $a<\alpha\leqslant\beta<b$.

Spook писал(а):

P.S. Почему у меня $[a,b]$ не под $min$, а где-то справа?

В "min" используйте знак "": то есть берите "\min" - тогда получится:

$\min\limits_{[a,b]}f(x)$

[AD]

ddn, а будет ли у вас производная существовать в точках $a$ и $b$? (односторонняя, разумеется)

Добавлено спустя 7 минут 10 секунд:

Так, то есть производная на $[a,\alpha]$ должна быть неограниченной неотрицательной суммироемой функцией, обладающей свойством Дарбу? Это ж элементарно делается ...

Надо гладких столбиков понаставить, сгущающихся и вытягивающихся к точке $a$, и чтобы вытягивались они хоть и до бесконечности, но достаточно медленно по сравнению с шириной их оснований: настолько медленно, чтобы $f(x)-f(a)=\overline{\overline{o}}(x-a)$. (здесь $f$ - это сама функция, а не производная) Ясно, что так можно сделать, так как ширину оснований мы можем сделать сколь угодно быстро убывающей.

[Spook]

ddn, у Вас производная равна $+\infty$ в точке $b$. В условии требуется конечность производной.
P.S. Спасибо за подсказку про $\min\limits_{[a,b]}$.

AD, хотелось бы записать эту функцию математически. Кстати, разве описанная Вами функция будет непрерывной на всем отрезке?

[ddn]

AD писал(а):

ddn, а будет ли у вас производная существовать в точках $a$ и $b$? (односторонняя, разумеется)

Вообще-то я старался найти непрерывно-дифференцируемую функцию. У меня производная в точках $a$ и $b$ непрерывна, хоть и принимает несобственные значения.

Увеличить
Заметим, производная в точках $a$ и $b$ определяется независимо, то есть в виде $f'(a)=\lim\limits_{\Delta x\to+0}\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}$, а не непрерывным продолжением типа $f'(a)=\lim\limits_{x\to a+0}f'(x)$.

AD писал(а):

Так, то есть производная на $[a,\alpha]$ должна быть неограниченной неотрицательной суммироемой функцией, обладающей свойством Дарбу? Это ж элементарно делается...

Условие (1): функция монотонно убывает на $[a,\alpha]$ - и значит производная как раз отрицательна. И суммируема тоже.

AD писал(а):

Надо гладких столбиков понаставить, сгущающихся и вытягивающихся к точке $a$, и чтобы вытягивались они хоть и до бесконечности, но достаточно медленно по сравнению с шириной их оснований: настолько медленно, чтобы $f(x)-f(a)=\overline{\overline{o}}(x-a)$. (здесь $f$ - это сама функция, а не производная) Ясно, что так можно сделать, так как ширину оснований мы можем сделать сколь угодно быстро убывающей.

В таком варианте производная разрывна в точках $a$ и $b$, зато всюду конечна.
Здесь подходит что-то типа:

$f(x)=f_*+\left\{\begin{array}{ccc}(x-a)^ccos\left(\gamma(\frac{\alpha-a}{x-a})^{\frac{c}{-\gamma\tg(\gamma)}}\right)-(\alpha-a)^ccos(\gamma),x\in[a,\alpha]\\0,x\in[\alpha,\beta]\\(b-x)^{c'}cos\left(\gamma'(\frac{b-\beta}{b-x})^{\frac{c'}{-\gamma'\tg(\gamma')}}\right)-(b-\beta)^{c'}cos(\gamma'),x\in[\beta,b]\end{array}$
где $\frac{\pi}{2}<\gamma<\pi$ (тогда $tg(\gamma)<0$) и $1<c<\frac{1}{\max(1+\frac{1}{\gamma\tg(\gamma)},+0)}$,
аналогично для $\gamma'$ и $c'$.

Добавлено спустя 2 минуты 31 секунду:

получилась и непрерывная на $[a,b]$, и гладкая на $(a,b)$.

[Spook]

ddn писал(а):

гладкая на $(a,b)$

Означает ли это, что в концевых точках существует производная (правая и левая)?
Еще не понятно, что значит $+0$ под максимумом .

Вот что удалось найти (в книге "Контрпримеры в анализе"):
$f(x)=\left\{\begin{array}{1}x^2\sin\frac{1}{x^2}, if x\neq 0,\\0, if x=0\end{array}\right$.
Ее производная действительно конечна, но неограничена на $[-1,1]$:
$f'(x)=\left\{\begin{array}{1}2x\sin\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}cos\frac{1}{x^2}, if x\neq 0,\\0, if x=0\end{array}\right..$

Добавлено спустя 9 минут 51 секунду:

Жаль только, что у нее минимумов бесконечное количество (надо один).

[AD]

Spook в сообщении #145134 писал(а):

разве описанная Вами функция будет непрерывной на всем отрезке?

Это я описал не функцию, а ее производную. Она, как видите, неотрицательна, всюду конечна, но разрывна в точке $a$. Собственно, всё. Ну минус нужно навесить, чтобы убывала. Ну можно маленькое слагаемое довесить, чтобы строго убывала.

Spook писал(а):

Вот что удалось найти (в книге "Контрпримеры в анализе"):

Да, эта штука классическая. Нам же нужно лишь сделать что-нибудь подобное, но чтобы функция была монотонной. Собственно, это я и сделал. Не знаю, то ли же самое сделал в последнем посте ddn - проще самому изобрести, чем чужое понять ...

Spook писал(а):

AD, хотелось бы записать эту функцию математически.

А самостоятельно? Ну ладно, так уж и быть.

Пусть $\phi(x)=e^{\frac1{x^2-1}}\cdot\chi_{[-1,1]}(x)$ - гладкий (бесконечно дифференцируемый, хотя это и перебор, конечно ...) столбик. Нужно в качестве производной от нужной нам функции (на отрезке $[a,\alpha]$, где для удобства $a=0$, и $\alpha$ достаточно велико) взять что-то типа

$$f'(x)=-\sum_{n=1}^\infty n\cdot\phi\bigl(\tfrac1{a_n}(x-1/n)\bigr)$$

.

Это будет функция, график которой состоит из столбиков высоты $n$, основания которых имеют ширину $2a_n$ и середину в точках $1/n$. Осталось подобрать последовательность $a_n$ настолько быстро убывающей, чтобы

1. Основания не пересекались.
2. $\int\limits_0^xf'(t)\,dt=o(x)$.

(Во втором пункте, очевидно, достаточно рассмотреть точки $x=1/n+a_n$)

Второе условие гарантирует дифференцируемость $f$ по тем же причинам, которые влекут дифференцируемость в нуле в вашем примере.

[ddn]

Spook писал(а):

Означает ли это, что в концевых точках существует производная (правая и левая)?

Существует и равна нулю, ибо в окрестностях концевых точек функции $f(a)-f(x)$ и $f(b)-f(x)$ мажорируются по модулю $\leqslant (x-a)^c$ и $\leqslant (b-x)^{c'}$ при $c>1$ и $c'>1$.

Spook писал(а):

Еще не понятно, что значит $+0$ под максимумом

То, что при делении $1$ на такой $+0$ получается именно $+\infty$, а не $-\infty$.
Этот случай имеет место при $2,79838604..\leqslant\gamma<\pi$, когда $1-\frac{1}{-\gamma\tg(\gamma)}\leqslant 0$.

Spook писал(а):

Вот что удалось найти (в книге "Контрпримеры в анализе"):
$f(x)=\left\{\begin{array}{1}x^2\sin\frac{1}{x^2}, if x\neq 0,\\0, if x=0\end{array}\right$.
Ее производная действительно конечна, но неограничена на $[-1,1]$:
$f'(x)=\left\{\begin{array}{1}2x\sin\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}cos\frac{1}{x^2}, if x\neq 0,\\0, if x=0\end{array}\right..$

Левый кусок производной при $x\in[a,\alpha]$:

$f'(x)=\left((x-a)^ccos\left(\gamma(\frac{\alpha-a}{x-a})^{\frac{c}{-\gamma\tg(\gamma)}}\right)\right)'=$
$=c(x-a)^{c-1}\cos\left(\gamma(\frac{\alpha-a}{x-a})^{\frac{c}{-\gamma\tg(\gamma)}}\right)+\frac{c}{-\tg(\gamma)}(\alpha-a)^{\frac{c}{-\gamma\tg(\gamma)}}(x-a)^{c(1+\frac{1}{\gamma\tg(\gamma)})-1}}\sin\left(\gamma(\frac{\alpha-a}{x-a})^{\frac{c}{-\gamma\tg(\gamma)}}\right)$

Так как $c-1>0$ из требования существования производной в точке $x=a$, то первое слагаемое обнуляется в пределе $x\to a+0$, а так как $c(1+\frac{1}{\gamma\tg(\gamma)})-1<0$, то второе слагаемое имеет неограниченную вариацию в этом же пределе.
Кстати, если подставить $x=\alpha$, получим $f'(\alpha)=c(\alpha-a)^{c-1}\left(\cos(\gamma)+\frac{1}{-\tg(\gamma)}\sin(\gamma)\right)=0$ - гладкий переход на $[\alpha,\beta]$.

Аналогично, для правого конца $x=b$.

Spook писал(а):

Жаль только, что у нее минимумов бесконечное количество (надо один).

Ну, Вы хотите слишком многого. Если в правой окрестности левого конца $x=a$ производная функции при движении к $x=a$ непрерывно-монотонно возрастает (сингулярные разрывно-дифференцируемые функции, не равные риманову интегралу от своей производной, не рассматриваем), то производная непрерывна в этой точке:
$\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}=\frac{1}{\Delta x}\int\limits_{a}^{a+\Delta x}f'(x)dx\left\{\begin{array}{сс}\geqslant f'(a+\Delta x)\\\leqslant f'(a+0)\end{array}\right$, откуда
$f'(a+0)\geqslant f'(a)\geqslant\lim\limits_{\Delta x\to+0}f'(a+\Delta x)=f'(a+0)$,
$f'(a)=f'(a+0)=+\infty$
- и в нашем примере обращается в $+\infty$.
Без бесконечного числа вариаций не обойтись.

[Spook]

AD, самостоятельно пока не получается Пытаюсь разобрать, как построить функцию по Вашему алгоритму. Что у Вас обозначает символ $\chi$ (я лично встречал его как функцию Дирихле, либо как характеристическую функцию)?

ddn писал(а):

Без бесконечного числа вариаций не обойтись.

Мне не знаком этот термин, но, по-моему, Вы хотите сказать, что либо функция неограничена, но монотонна и с неограниченой производной, либо ограничена, с конечной неограниченой производной, но у нее больше одного минимума. Это так?
Кстати, фразой "надо один" я хотел сказать, что если $f*=f(x_1)=f(x_2)$, то $f*=f([x_1,x_2])$.

ddn,AD, правильно ли я понял, что у вас противоположные мнения по поводу существования искомой функции?

[ddn]

Spook писал(а):

AD... Что у Вас обозначает символ $\chi$ (я лично встречал его как функцию Дирихле, либо как характеристическую функцию)?

Судя по всему это характеристическая:
$\chi_A(x)=\left\{\begin{array}{сс}1,x\in A\\0,x\not\in A\end{array}\right$

Spook писал(а):

ddn писал(а):

Без бесконечного числа вариаций не обойтись.

Мне не знаком этот термин... у нее больше одного минимума?

Не просто больше одного, а бесконечное число. Под "бесконечным числом вариаций" я подразумевал бесконечную смену участков возрастания и убывания, и, значит, бесконечное число локальных максимумов и минимумов, которые сгущаются вблизи граничных точек интервала.

Пусть функция непрерывна на компакте из $\mathbb{R}$ (связный компакт = замкнутый интервал) и имеет производную всюду на этом компакте - и функция, и производная со значениями в $\mathbb{\bar R}=[-\infty,+\infty]$.

Spook писал(а):

по-моему, Вы хотите сказать, что либо функция неограничена, но монотонна и с неограниченной производной, либо ограничена, с конечной неограниченной производной, но у нее больше одного минимума. Это так?

Она (производная) может быть и ограниченной монотонной. Но если производная неограниченна на компактном интервале, то вблизи точки, где производная неограниченна, она (производная)
- либо бесконечна, и тогда она: разрывна либо непрерывна, монотонна в некоторой окрестности либо бесконечно варьируется (любые варианты);
- либо конечна, но тогда она разрывна (так как хотя бы один их ее пределов, правый или левый, не существует) и бесконечно варьируется.

Замечание: если в некоторой точке функция принимает бесконечное значение, то в некоторой ее окрестности она не должна иметь бесконечных значений того же знака (иначе производная в точке неопределена), а значение ее производной в такой точке - бесконечно, причем разных знаков с разных сторон. Поэтому, в некоторой окрестности такой точки, компакт должен иметь точки только по одну сторону от этой точки.

Здесь не рассмотрен случай сингулярных функций, производные которых правильно интегрируются (дают саму функцию) только Лебегом или Данжуа, или вообще не интегрируются. Но к монотонным производным это не относится.

Spook писал(а):

ddn,AD, правильно ли я понял, что у вас противоположные мнения по поводу существования искомой функции?

Почему же? Просто AD предложил другой вид функции.

[AD]

ddn писал(а):

Здесь не рассмотрен случай сингулярных функций

Что вы называете сингулярными функциями? Это как лестница Кантора, что-ли? Таким никакой интеграл Данжуа не поможет, их только обобщенными функциями.
P.S. Spook, заметьте, что эта ваша производная из примера из "Контрпримеров в анализе" не просто неограничена, а еще и не интегрируема по Лебегу То есть с этого примера началась в свое время теория вышеупомянутых интегралов Данжуа итп.

ddn в сообщении #145247 писал(а):

Spook писал(а):

AD... Что у Вас обозначает символ $\chi$ (я лично встречал его как функцию Дирихле, либо как характеристическую функцию)?

Судя по всему это характеристическая:
$\chi_A(x)=\left\{\begin{array}{сс}1,x\in A\\0,x\not\in A\end{array}\right$

Да-да, именно так. То есть я отрезал функцию там, где заканчивается столбик.

Spook в сообщении #145243 писал(а):

AD, самостоятельно пока не получается

Ну хорошо, ну вот вам картинка:

Эт я, как всегда, производную нарисовал.

[Spook]

ddn писал(а):

Просто AD предложил другой вид функции.

Я сейчас пытаюсь построить предложенные функции в MatLab. Просто Вы писали, что локальных минимумов у искомой функции

Цитата:

Не просто больше одного, а бесконечное число. Под "бесконечным числом вариаций" я подразумевал бесконечную смену участков возрастания и убывания, и, значит, бесконечное число локальных максимумов и минимумов, которые сгущаются вблизи граничных точек интервала.

Но ведь это же противоричит

Spook писал(а):

существуют числа $\alpha,\beta,a\leqslant\alpha\leqslant\beta\leqslant b$, такие что:
1) функция монотонно убывает на $[a,\alpha]$;
2) функция монотонно возрастает на $[\beta,b]$;
3) при $x\in[\alpha,\beta]$ $f(x)=f*=\min\limits_{[a,b]}f(x)$.

ddn, про противоположные мнения я подумал потому, что

ddn писал(а):

Ну, Вы хотите слишком многого. Если в правой окрестности левого конца $x=a$ производная функции при движении к $x=a$ непрерывно-монотонно возрастает (сингулярные разрывно-дифференцируемые функции, не равные риманову интегралу от своей производной, не рассматриваем), то производная непрерывна в этой точке:
$\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}=\frac{1}{\Delta x}\int\limits_{a}^{a+\Delta x}f'(x)dx\left\{\begin{array}{сс}\geqslant f'(a+\Delta x)\\\leqslant f'(a+0)\end{array}\right$, откуда
$f'(a+0)\geqslant f'(a)\geqslant\lim\limits_{\Delta x\to+0}f'(a+\Delta x)=f'(a+0)$,
$f'(a)=f'(a+0)=+\infty$

Удалось бы здесь, как в "контрпримерах", прировнять производную к какому-нибудь конечному числу - функция, видимо, подошла бы.

[ddn]

Spook писал(а):

ddn писал(а):

...бесконечную смену участков возрастания и убывания...

Но ведь это же противоричит

Spook писал(а):

существуют числа $\alpha,\beta,a\leqslant\alpha\leqslant\beta\leqslant b$, такие что:
1) функция монотонно убывает на $[a,\alpha]$;
...

Канечна противоречит. Неужели Вы сразу не уловили, как ведет себя функция вида $sin(\frac{1}{x})$ в нуле? Но от монотонности необходимо отказаться, если Вы желаете не только неограниченной производной, но еще и конечной. В моем первом примере был дан пример именно с монотонной, неограниченной, но при этом бесконечной (на границах) производной.

Spook писал(а):

ddn, про противоположные мнения я подумал потому, что

ddn писал(а):

...
$f'(a)=f'(a+0)=+\infty$

В принципе, если положить в этой точке производную равную конечному числу, то функция, видимо, будет удовлетворять условию (если, конечно, она нигде от этого не "разорвется").

Конечно можно, это будет тривиальный, полностью регулярный, пример всюду дифференцируемой ограниченной функции, с непрерывной ограниченной производной на отрезке. Но Вы же хотели неограниченную производную!

Spook, заметьте, что рисунок AD - это график неограниченной производной, а не график самой функции! В граничных точках производная, как видите, разрывна.

AD писал(а):

Надо гладких столбиков понаставить, сгущающихся и вытягивающихся к точке $a$, и чтобы вытягивались они хоть и до бесконечности, но достаточно медленно по сравнению с шириной их оснований

Вытягивание до бесконечности, но достаточно медленное по сравнению с шириной, очевидно нужно для конечной интегрируемости производной.
А вот ее гладкость совсем излишняя.

[Spook]

ddn писал(а):

Но от монотонности необходимо отказаться, если Вы желаете не только неограниченной производной, но еще и конечной.

Значит в примере AD функция не удовлетворяет условиям 1-3? Но ведь там неотрицательная производная...

ddn писал(а):

это будет тривиальный, полностью регулярный, пример всюду дифференцируемой ограниченной функции, с непрерывной ограниченной производной на отрезке. Но Вы же хотели неограниченную производную!

Именно так! Я просто попытался сделать функцию дифференцируемой - понял, что не получилось.

ddn писал(а):

Spook, заметьте, что рисунок AD - это график неограниченной производной, а не график самой функции! В граничных точках производная, как видите, разрывна.

Я понял, что это график производной . Кстати, разрывность производной(произвольной конечной), насколько я помню, позволяет быть функции дифференцируемой, условия 1-3 вроде тоже могут выполняться.

ddn, как я понял из Ваших рассуждений, производная искомой функции не может быть непрерывной?

[ddn]

Spook писал(а):

ddn писал(а):

Но от монотонности необходимо отказаться, если Вы желаете не только неограниченной производной, но еще и конечной.

Значит в примере AD функция не удовлетворяет условиям 1-3? Но ведь там неотрицательная производная...

Хм... как-то не обратил на это внимание...
Действительно, сама функция там монотонна. Я почему-то сбился на монотонную производную...
Тогда с примером AD все в порядке. При быстром падении площади под графиком производной вблизи границ, производная на границах существует и будет равна нулю.

Spook писал(а):

Кстати, разрывность производной(произвольной конечной), насколько я помню, позволяет быть функции дифференцируемой, условия 1-3 вроде тоже могут выполняться.

Да, всюду дифференцируемость означает лишь, что производная всюду определена, хотя может быть и разрывной.

Spook писал(а):

ddn, как я понял из Ваших рассуждений, производная искомой функции не может быть непрерывной?

Всюду конечная и неограниченная функция (множество значений незамкнуто в $\mathbb{\bar R}=[-\infty,+\infty]$) на компакте не может быть ни непрерывной, ни монотонной.

Функция, непрерывная на компакте, имеет замкнутое в $\mathbb{\bar R}$ множество значений, и потому, если всюду конечна - то ограничена, а если неограничена - то где-то бесконечна; она также может как быть монотонной, так и не быть.

Функция, монотонная на упорядоченном компакте, не обязательно имеет замкнутое в $\mathbb{\bar R}$ множество значений - но если имеет, то непрерывна; если она всюду конечна - то ограничена, а если неограничена - то где-то бесконечна.