задача по динамике материальной точке

[u_tain]

Не могу разобраться в задаче, выписал уравнение движения, но, решая его понял,что скорее всего ошибся в построении самого уравнения движения.
Сама задача:
На высоте $H$ над Землей точке массы $m$ сообщается начальная скорость $v_0$, направленная вертикально вниз. Найти скорость точки на высоте $h$, если на нее действует сила сопротивления

$$F = — \beta v'^2,$$

а сила притяжения меняется с высотой по закону

$$\frac{mR^2g}{(R + z)^2},$$

где $R$ — радиус Земли, a $z$ — расстояние до ее поверхности.

Моё уравнение выглядит так:

$$mx''=\frac{mR^2g}{(R+z)^2}+\beta x'^2$$

$\Rightarrow$

$$\frac{m}{2} \frac{dy}{dx} = \frac{mR^2g}{(R+x)^2}+\beta y$$

$\Rightarrow $ $x_1=R+x\Rightarrow $

$$ \frac{dy}{dx_1} = \frac{mR^2g}{x_1^2}+\frac{2\beta}{m} y$$

При решении этого уравнения получаю экспоненциальный интеграл, что и смущает.

[DimaM]

u_tain в сообщении #1453603 писал(а):

$$mx''=\frac{mR^2g}{(R+z)^2}+\beta x'^2$$

Здесь очевидно вместо $z$ должен быть $x$, и знак у первого слагаемого в правой части неверный (высота ведь уменьшается). Дальнейшие преобразования с учетом знака выглядят правильными.

[Pphantom]

u_tain в сообщении #1453603 писал(а):

$$F = — \beta v'^2,$$

По-видимому, штрих тут лишний. Вообще с обозначениями творится что-то безумное - вы одно и то же зачем-то обозначаете разными буквами.

u_tain в сообщении #1453603 писал(а):

$$mx''=\frac{mR^2g}{(R+z)^2}+\beta x'^2$$

И что, сила притяжения и сила сопротивления направлены в одну сторону?

u_tain в сообщении #1453603 писал(а):

$$\frac{m}{2} \frac{dy}{dx} = \frac{mR^2g}{(R+x)^2}+\beta y$$

Во-первых, чему равен $y$? Во-вторых, каким образом при любой замене переменной это можно получить?

u_tain в сообщении #1453603 писал(а):

$$ \frac{dy}{dx_1} = \frac{mR^2g}{x_1^2}+\frac{2\beta}{m} y$$

При делении обеих частей равенства на $m$ можно некоторые члены делить, а некоторые - нет?

u_tain в сообщении #1453603 писал(а):

При решении этого уравнения получаю экспоненциальный интеграл, что и смущает.

Ну, тут-то как раз смущаться нечему (в отличие от).

[u_tain]

Цитата:

Pphantom в сообщении #1453610 писал(а):

u_tain в сообщении #1453603 писал(а):

$$F = — \beta v'^2,$$

По-видимому, штрих тут лишний.

да, тут вы правы, штрих лишний.

Цитата:

u_tain в сообщении #1453603 писал(а):

$$\frac{m}{2} \frac{dy}{dx} = \frac{mR^2g}{(R+x)^2}+\beta y$$

Во-первых, чему равен $y$? Во-вторых, каким образом при любой замене переменной это можно получить?

Здесь $y=x'^2$

$$x''=\frac{dx'}{dt}=\frac{dx'}{dx}\frac{dx}{dt}=\frac{dx'}{dx}x'=\frac{1}{2}\frac{d(x'^2)}{dx}$$

$$\frac{dy}{dx}=\frac{d(x'^2)}{dx}=2x'\frac{dx'}{dx}$$

по сути мы перешли от дифференцирования по времени к дифференцированию по координате

Цитата:

u_tain в сообщении #1453603 писал(а):

$$ \frac{dy}{dx_1} = \frac{mR^2g}{x_1^2}+\frac{2\beta}{m} y$$

При делении обеих частей равенства на $m$ можно некоторые члены делить, а некоторые - нет?

И снова опечатка)

Цитата:

u_tain в сообщении #1453603 писал(а):

$$mx''=\frac{mR^2g}{(R+z)^2}+\beta x'^2$$

И что, сила притяжения и сила сопротивления направлены в одну сторону?

Да, увидел, но проблема с уравнением осталась.(

[Pphantom]

Вы так лихо ставите (и не ставите) штрихи, что понять, где это сознательное действие, а где - ошибка, затруднительно. Расставьте все-таки их и знаки нормально и напишите, что получается дальше (поскольку пока не очень ясно, что именно вам не нравится).

[u_tain]

Так, со всеми исправлениями уравнение и преобразование такое:

$$mx''=\frac{mR^2g}{(R+z)^2}-\beta x'^2$$

$y=x'^2\Rightarrow$

$$\frac{m}{2} \frac{dy}{dx} = \frac{mR^2g}{(R+x)^2}-\beta y$$

$x_1=R+x\Rightarrow$

$$ \frac{dy}{dx_1} = \frac{R^2g}{x_1^2}-\frac{2\beta}{m} y$$

А сила сопротивления:

$$F=-\beta v^2$$

[Pphantom]

u_tain в сообщении #1453689 писал(а):

$$ \frac{dy}{dx_1} = \frac{R^2g}{x_1^2}-\frac{2\beta}{m} y$$

Почти (одну двойку опять потеряли).

Но в целом - да. Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами, для такого есть стандартная формула решения. И?

[DimaM]

Pphantom в сообщении #1453693 писал(а):

u_tain в сообщении #1453689 писал(а):

$$ \frac{dy}{dx_1} = \frac{R^2g}{x_1^2}-\frac{2\beta}{m} y$$

Почти (одну двойку опять потеряли).

А по-моему знаки в правой части должны быть противоположными. Потому что $x_1$ уменьшается, а $y$ увеличивается.

[Утундрий]

(Оффтоп)

Pphantom в сообщении #1453679 писал(а):

Вы так лихо ставите (и не ставите) штрихи, что понять, где это сознательное действие, а где - ошибка, затруднительно.

Есть третий вариант: стремление к украшательству. Вспомнил сейчас школьный эпизод. Нам задали нарисовать сколько-то карточек с наименованиями химических элементов. Так вот, карточки, нарисованные девочками, можно было распознать сразу. По количеству лишних штрихов, тильдочек, почему-то двоечек и, кажется, даже бабочек.

[Pphantom]

DimaM в сообщении #1453893 писал(а):

А по-моему знаки в правой части должны быть противоположными. Потому что $x_1$ уменьшается, а $y$ увеличивается.

Да, действительно. Все-таки нужно было сделать нормальные обозначения, чтобы не путаться в направлениях.